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重庆市2017届高三学业质量调研抽测(第一次)
理科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足,则复数在复平面内的对应点所在象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合,则( )
A. B. C. D.
3.若过点的直线与圆相较于两点,且为弦的中点,则为( )
A. B.4 C. D.2
4. 展开式中,项的系数为( )
A.30 B.70 C.90 D.-150
5.已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称,则函数的一个单调递增区间是( )
A. B. C. D.
6.设等差数列的前项和为,已知,则( )
A.16 B.20 C.24 D.26
7.设双曲线的渐近线与抛物线相切,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.将5名学生分到三个宿舍,每个宿舍至少1人至多2人,其中学生甲不到宿舍的不同分法有( )
A.18种 B.36种 C.48种 D.60种
9.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( )
A.14 B.15 C. 16 D.17
10.设实数满足约束条件,则目标函数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知函数的导函数为,且对任意的恒成立,则下列不等式均成立的是( )
A. B.
C. D.
12.已知函数若关于的方程有三个不同实数根,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.设向量的夹角为,已知向量,若,则 .
14.如图,阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形,若直角三角形两条直角边的长分别为,且,则在大正方形内随即掷一点,这一点落在正方形内的概率为 .
15.已知,且,则 .
16.设抛物线的焦点为,过点作直线与抛物线分别交于两点,若点满足,过作轴的垂线与抛物线交于点,若,则点的横坐标为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知数列的前项和为,.
(Ⅰ)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求证:.
18. 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在30名男性驾驶员中,平均车速超过的有20人,不超过的有10人.在20名女性驾驶员中,平均车速超过的有5人,不超过的有15人.
(Ⅰ)完成下面的列联表,并判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关;
平均车数超过
人数
平均车速不超过
人数
合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计
(Ⅱ)以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取3辆,记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列和数学期望.
参考公式:,其中.
参考数据:
0.150
0.100
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.已知的三个内角的对边分别为.
(Ⅰ)若,求证:;
(Ⅱ)若,且的面积,求角.
20.已知分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若且,已知直线与椭圆交于两点,过点且平行于直线的直线交椭圆于另一点,问:四边形能否程成为平行四边形?若能,请求出直线的方程;若不能,请说明理由.
21.已知函数.
(Ⅰ)求过点且与曲线相切的直线方程;
(Ⅱ)设,其中为非零实数,若有两个极值点,且,求证:.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系中,曲线(为参数,),曲线(为参数).以坐标原点为
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