2018年普通高等学校招生第一次统一模拟考试理科数学答案.doc

. . . . 2018年普通高等学校招生第一次统一模拟考试 理科数学参考答案及评分标准 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C A C B C D A B D B 填空题:本大题共4小题，每小题5分。 13. －2或3 ; 14. ; 15. ; 16. ①② . 三 . 解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （一）必考题：共60分。 17．（本小题满分12分） 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，b=1，且． (Ⅰ) 求角B的大小； (Ⅱ) 求△ABC外接圆的圆心到AC边的距离． 解：（Ⅰ）由，结合余弦定理得： ， ， 则， ∵ ∴. ---------------------------------------6分 (Ⅱ) 设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理知 ， 故, 则△ABC外接圆的圆心到AC边的距离 .---------------------------------12分 18．（本小题满分12分） 微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由 腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表： 步数 性别 0200050018000 800110000 ＞10000 男 1 2 4 7 6 女 0 3 9 6 2 （Ⅰ）若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ 积极型 懈怠型 总计 男 女 总计 （Ⅱ）如果从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中随机抽取3人，设抽取的女性有人，求的分布列及数学期望． 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：（Ⅰ）根据题意完成下面的列联表如下： 积极型 懈怠型 总计 男 13 7 20 女 8 12 20 总计 21 19 40 ∴， ∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关. --------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中男性6人，女性2人， 现从中抽取3人，抽取的女性人数服从超几何分布， 的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， ∴的分布列如下： 0 1 2 ∴ ------------------12分 19．（本小题满分12分） 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，. （Ⅰ）证明： （Ⅱ）若是的中点，且与平面所成的角的正切值为，求二面角的余弦值. 证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形， ∴. 又∵，且是中点， ∴. ， ∴. 又∵， ∴ . ------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，是在面上的射影， ∴是与面所成的角. 在Rt△BOE中，tanOEB = ，， ∴. 在Rt△PEO中，，， ∴. ∴，又， ∴，∴. 又，∴. 方法一： 过做于， 由（Ⅰ）知， ∴， ∴， ， ∴是二面角的平面角. 在△PAC中，， ∴，即. ∴. ，得， ，， ∴二面角的余弦