高考数学考点31 直线、平面平行的判定及其性质.docVIP

PAGE PAGE 2 （1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理： ·如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ·如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行. 理解以下性质定理，并能够证明： ·如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. ·如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行. ·垂直于同一个平面的两条直线平行. （2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 一、直线与平面平行的判定与性质 1．直线与平面平行的判定定理 文字语言 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 简记为：线线平行?线面平行 图形语言 符号语言 a?α，b?α，且a∥b?a∥α 作用 证明直线与平面平行 2．直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 简记为：线面平行?线线平行 图形语言 符号语言 作用 ①作为证明线线平行的依据． ②作为画一条直线与已知直线平行的依据. 二、平面与平面平行的判定与性质 1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 简记为：线面平行?面面平行 图形语言 符号语言 a?β，b?β，，a∥α，b∥α?α∥β 作用 证明两个平面平行 2．平面与平面平行的性质定理 文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 简记为：面面平行?线线平行 图形语言 符号语言 作用 证明线线平行 3．平行问题的转化关系 三、常用结论（熟记） 1．如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 2．如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线． 3．夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． 4．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 5．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 6．如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行． 7．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． 8．如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行． 考向一 线面平行的判定与性质 线面平行问题的常见类型及解题策略： (1)线面平行的基本问题 ①判定定理与性质定理中易忽视的条件． ②结合题意构造图形作出判断． ③举反例否定结论或反证法证明． (2)线面平行的证明问题 判断或证明线面平行的常用方法有： ①利用线面平行的定义(无公共点)； ②利用线面平行的判定定理()； ③利用面面平行的性质()； ④利用面面平行的性质(). (3)线面平行的探索性问题 ①对命题条件的探索常采用以下三种方法： a.先猜后证，即先观察与尝试，给出条件再证明； b.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； c.把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． ②对命题结论的探索常采用以下方法： 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设. 典例1 已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列命题： ①若m∥α，n∥α，则m∥n； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m∥α，m∥β，则α∥β； ④若m⊥α，n⊥α，则m∥n. 其中正确的有________．（填序号） 【答案】④ 1．如图，在正方体中，分别是的中点，则下列命题正确的是 A． B． C．平面 D．平面 典例2 如图，四棱锥中，，，，，分别为线段，，的中点，与交于点，是线段上一点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 学# （2）如图，连接，， ∵，分别是，的中点，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. 又∵是的中点，是的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. 又∵， ∴平面平面， 又∵平面， ∴平面. 2．如图，在四棱锥中，平面是的 中点. （1）求证:平面; （2）求三棱锥的体积. 考向二 面面平行的判定与性质 判定面面平行的常见策略： (1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)． (2)利用面面平行的判定定理(主要方法)． (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)． (4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用). 典例3 如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且平面，点是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面