数学物理方法第8章.pptxVIP

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本章中心内容;问题的引入; 前一章所讲的行波法,适用范围会受到一定限制.本章介绍的分离变量法(又称为本征函数展开法)是解偏微分方程定解问题最常用的重要方法.;(2) 驻波的形成:两列反向行进的同频率的波的叠加。 u1=A cos(?t-kx),u2=A cos(?t+kx) u=u1+u2=2A cos(2?t) cos(2kx) 时间变量与空间变量分离 驻波的一般表示:u(x,t)=X(x)T(t) 把这种具有变量分离形式的特殊解作为尝试解去解偏微分方程,如果得到了方程的解,再由解的唯一性就???以保证尝试解的正确性;8.0 分离变量理论 ;;1. 常系数偏微分方程;要等式恒成立,只能它们等于一个既不依赖于x,也不依赖于y的常数,记为 ,从而得到两个常微分方程;上式要恒成立,只有它们均等于同一个常数,记为 ;第一类边界条件;假设具体定解问题(以弦的横振动为例)的边界 条件为齐次的: ;(一)分离变数法介绍;驻波解;(1) ; n=1,2,3…… ;初始条件:;(4)、有初始条件确定通解系数(傅立叶展开 );(二) 例1:;初始条件:;例1`:单簧管,均匀细管。研究管内空气柱的声振动,纵振动。一端固定,另一端自由,求本征振动。;和;例2:;初始条件:;“和”是迅速衰减的部分。近似:只保留 k=0 项。;例3;和;泛定方程;;解 如图选择坐标系,电荷具有面对称性,形成的电场也具有面对称性. 在圆柱外,电势满足lalapce方程.;分离变量;径向方程:;电场强度;8.2 非齐次振动方程和输运方程;初始条件;齐次方程的通解和非齐次方程的特解;齐次边界条件的齐次方程; F(x,?)?(t-?)d?为作用在短时间区间(?,?+d?)上冲量为F(x,?)d? 的“瞬时”力,该瞬时力引起的振动记为;2、数学检验:;非齐次方程;带入初始条件:;当?趋向于某个特征频率?k,则有;输运方程;8.3 非齐次边界条件的处理;解法:边界条件齐次化;取:;初始条件:;8.4 泊松方程;;例2:;的联立代数方程;51;52;53;54;55;56

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