有效数字和误差分析.pptxVIP

1. 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本 任务，主动适应“公式多”的特点；2. 注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基 本提法，逐步深入；3. 理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本 线索，对最基本的算法要非常熟悉；4. 认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是 ; 数值分析又称计算方法或数值计算方法，是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的数学课程，它研究的是各种数学问题的一类近似解法——数值方法，即从一组原始数据（如模型中的某些参数）出发，按照确定的运算规则进行有限步运算，最终获得数学问题数值形式的满足精度要求的近似解。; 数值分析方法课程主要讨论如何构造求数学模型近似解的算法，讨论算法的数学原理、误差和复杂性，配合程序设计进行计算试验并分析试验结果。 ;;数值计算方法的主要特点;采用“近似替代”方法→逼近 采用“构造性”方法 采用“离散化”方法 把求连续变量的问题转化为求离散变量的问题 采用“递推化”方法 复杂的计算归结为简单过程的多次重复，易于用循环结构来实现（迭代法）。 采用各种有哪些信誉好的足球投注网站方法 ;1、数值逼近 插值与拟合、数值积分与微分 2、数值代数 线性代数方程组的解法、非线性代数方程（组）的解法 3、微分方程数值解 ODE PDE ;1.3.1 误差的来源与分类; 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差;机器字长有限 —— 舍入误差;四舍五入后……;1.3.2 误差与有效数字;但实际问题往往可以估计出 不超过某个正数 ，;例1 设x =?=3.1415926… 近似值x* =3.14,它的绝 对误差是 0.0015926…，有 ;2、相对误差与相对误差限;事实上，当 较小时;例4. 甲打字每100个错一个，乙打字每1000个 错一个，求其相对误差限 解： 根椐定义:甲打字时的相对误差限 乙打字时的相对误差限 ;3 、有效数字;定义 :;取 作 的近似值， 就有三位有效数字；;关于有效数字说明 ① 用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值,则 x*必有n位有效数字。如3.142作为 ?的近似值 有4位有效数字，而3.141为3位有效数字 ② 有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定 相同。例如，设x1*=12345,设x2*=12.345,两者 均有5位有效数字但绝对误差不一样 ?x- x1* ?=?x- 12345? ≤ 0.5= 1/2 ? 100 ?x- x2* ?=?x- 12.345?≤0.0005=1/2?10-3 ③ 把任何数乘以10p(p=0,?1,…)不影响有效位数 ④ 准确值具有无穷多位有效数字,如三角形面积 S=1/2ah=0.5ah 因为0.5是真值,没有误差 ?*=0,因此n??,准确值具有无穷位有效数字;4 、误差限与有效数字的关系;例5 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相 对误差限 解：已知 n=2 代入公式 ?r*=1/2x1 ?10-(n-1)得 ?r*=1/2x1 ?10-1 x*的第一位有效数字x1没有给出，可进行如下讨论：当 x1=1 ?r*=1/2x1 ?10-1=1/2*1 ?10-1=5% x1=9 ?r*=1/2x1 ?10-1=1/2*9 ?10-1=0.56% 取 x1=1 时相对误差为最大，即 5%;例6 已知近似数x*的相对误差限为0.3%，问x* 有几位有效数字？ 解：由;例7 为使 的近似数的相对误差小于0.1%， 问查开方表时，要取几位有效数字？ 解： ∵ 8 9 ∴ x1=8 ;1.3.3 数值运算的误差估计;从而有 ;对绝对误差式两边取绝对值得 ; ;于是误差限为;例8:已测得某场地长 的值为 ,宽 的值为 ,已知 , .试求 面积 的绝对误差限与相对误差限. ;而;3、 算法的数值稳定性;例9：求定积分 ;可得递推公式;由题设中的递推公式（1）可看出， 的误差扩大了;可求得I9 ? 0.017，按改写后的公式可逐次求得; I8 ? 0.019 I7