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第二章插值法333153 42插值法第二章 插值法 插值法的一般理论 Lagrange插值Newton插值Hermite插值分段低次插值、样条插值 插值法概述函数关系内在规律试验数据观测数据期望期望期望实际问题一、数学的期望实验数据是否存在内在规律?实验数据的内在规律是什么?实验数据的内在规律是否有函数解析式?反映内在规律的解析式是什么?数学的苦恼二、数学的苦恼机翼下轮廓线机械加工y????????x?插值引例三、插值引例实例1求机翼下轮廓线上一点的近似数值该点的值是多少?描述实际问题的函数f(x) 特点可能表达式复杂可能无解析表达式直接研究函数f(x)的性质---困难f(x)简单化----构造简单函数p(x)近似代替f(x)p(x)取法代数多项式-----------多项式插值三角函数多项式等------三角插值p(x)取给定的离散数据，称之为f(x)的插值函数问题的提出第一节 Lagrange插值泰勒多项式=泰勒多项式问题的提出泰勒多项式满足条件问题1:（泰勒插值）问题的提出缺点：需满足的条件要求提供函数f(x)在某点处的各阶导数，要求苛刻已知 n+1个节点其中互不相同，不妨设求任一插值点处的插值节点可视为由产生，??表达式复杂,???或无封闭形式,?或未知。插值问题的提法一般插值问题的提法??????求解插值问题的基本思路求解插值问题的基本思路Lagrange插值研究问题满足插值条件的多项式p(x)是否存在，唯一如果满足插值条件的p(x)存在，如何构造？p(x)近似代替f(x)的误差估计插值问题的存在唯一性如果满足插值条件的p(x)存在，如何构造？构造多项式的线性组合时不需要计算组合系数，组合系数取yi寻找基函数li(x),使得所求多项式满足插值条件第二节Lagrange插值公式一、线性插值(n=1) 设插值节点为：xk-1, xk, xk+1 ,求二次插值多项式L2(x)，使得L2( x j ) = y j ,j = k-1, k, k+1 .满足：二、抛物插值n=2几何意义:过三点(xk-1, yk-1), (xk , yk) 与(xk+1, yk+1)的抛物线 构造法：先求 插值基函数l k-1(x), l k (x), l k+1(x) (二次函数),L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，求 lk-1(x):构造插值多项式L2(x)xk-1 xk xk+1 y 1 0 xy 1 0 xy 1 0 xxk-1 xk xk+1 xk-1 xk xk+1 L2(x)是三个二次函数的线性组合解：有3位有效数字有4位有效数字三、Lagrange 多项式插值(n次)求通过n +1个节点的n 次插值多项式Ln(x)设Ln(x)满足插值条件：L n ( xj ) = y j ( j = 0, 1, ?, n ) .定义 若n 次多项式 lk ( x ) (k = 0,1,?,n ) 在各节点 上满足条件 则称这n +1个n 次多项式为这n +1个节点上的n 次插值基函数。1. 先求插值基函数（类似于前面讨论n =1, 2 时的情形）其中， k = 0, 1 ,?,n .（Lagrange）插值多项式2.构造插值多项式（Ln(x)是n+1个插值基函数的线性组合）构造插值多项式的方法： (1) 先求插值基函数lk(x) (2) 构造插值多项式Ln(x)Lagrange插值多项式优点(1)形式对称、结构紧凑(2)易于编程实现输入（xi,yi)及x i =0,1,2,...,n开始P=0,k=0t=1t=t(x-xi)/(xk-xi)i=0,1,2,...,k-1, k+1,...,nP=p+yktFk=nk=k+1T结束输出p四：程序实现五、插值多项式的余项设该零点为 ，由Rolle定理，(3)若有 ,则截断误差限是余项大小和M 和|ωn+1(x)|有关，(4)n次插值多项式对次数不高于n次的多项式完全精确。若f(x)为次数不高于n次的多项式, 则 f(n+1)(ξ) =0, 从而Rn(x)=0.(1) 余项表达式仅当f (n+1)(x) 存在时才能应用，且唯一。注:(2) ? 在( a , b ) 内的具体位置通常不能给出。(5)定理结论适用于所有插值多项式●线性插值：y0x用通过两点P0,P1的直线L1(x)代替f(x)y0 x●抛物线插值：余项为：xk-1 xk xk+1 用通过三点P0,P1,P2的抛物线L2(x)代替f(x)xk xk+1 (6)n = 1, 2 时的插值余项 ：(1) 取插值节点：做线性插值例3 x0. 40 0. 50 0. 70 0.80ln x-0.91629