1.5.1曲边梯形的面积(教学用).ppt

在过去的学习中，我们已经知道正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面“直边图形”的面积；物理中，我们知道了匀速直线运动的时间、速度与路程的关系等等。在数学和物理中，我们还经常会遇到计算平面曲线围成的平面“曲边图形”的面积、变速直线运动物体位移、变力做功的问题。如何解决这些问题呢？能否把求“曲边图形”面积转化为求“直边图形”面积？能否利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题？为此，我们需要学习新的数学知识—定积分。 课题引入 如不加说明，下面研究的都是连续的函数。 思考？ 新课探究 图1.5—1中，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y=f(x)的一段，我们把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？ 思考？图1.5—2中的曲边梯形与我们熟悉的“直边图形”的主要区别是什么？能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积问题？ 可以发现，图1.5—2中的曲边梯形与“直边图形”的主要区别是：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段。 在过去的学习中，我们曾经用多边形逼近圆的方法，利用多边形面积求出圆的面积。这种“以直代曲”的思想启发我们，是否也能用直边形（比如矩形）逼近曲边梯形的方法，求图1.5—2中阴影部分面积呢？ 探究？ 一般地，对如图1.5—1所示的曲边梯形，我们也可以采用 分割—近似代替—求和—取极限的方法求出其面积。 第三步：求和。 第二步：近似代替，“以直代曲”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值． 求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 第四步：取极限。 例．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。 解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x,则所做的功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx， 将[0，b] n等分，记△x= ， 分点依次为x0=0，x1= ，x2= ,……，xn－1= ，xn=b， 当n很大时，在分段[xi，xi+1]所用的力约为kxi，所做的功△W≈kxi·△x= 则从0到b所做的总功W近似地等于 当n→+∞时，上式右端趋近于 于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为 以上两个实际问题，一个是求曲边梯形的面积，一个是求变力所做的功，虽然实际意义不同，但解决问题的方法和步骤是完全相同的，都归结为求一个函数在某一闭区间上的和式的极限问题. 小结 1、求曲边梯形的面积 2、求变力做功 分割—近视代替—求和—取极限 作业：优化设计