数学理 直线的斜率与直线的方程.pptxVIP

第八章平面解析几何初步第47讲直线的斜率与直线的方程求直线的方程 【例1】求分别满足下列条件的直线l的方程． (1)直线l过点P(1,2)，倾斜角是直线l1：3x＋4y＋5＝0的倾斜角的一半； (2)直线l过点M(0,1)，且被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M平分．点评 本题考查直线方程的基础知识和基本方法，主要考查点斜式和两点式．第(1)问已知直线过一定点，倾斜角又是已知直线的倾斜角的一半，用三角函数公式可以把它们的斜率联系起来，故而想到设点斜式方便一些．应该注意的是，倾斜角是另一直线的倾斜角的一半，并不意味着斜率也是一半！第(2)问解法很多，本解法是用中点方法再结合两点式，这样解决比较简便一些． 【变式练习1】基本不等式与直线方程的综合问题 【例2】已知直线l过点M(2,1)，且与x轴的正半轴交于A点，与y轴的正半轴交于B点，O是坐标原点，求：(1)当△AOB的面积取得最小值时，直线l的方程；(2)当|MA|·|MB|取得最小值时，直线l的方程． 点评 直线方程的形式不只一种，因此设法很关键．求过定点的直线方程往往用待定系数法．本题第(1)问中，因△ABC是直角三角形，面积显然与x轴、y轴上的截距关系密切，因而将直线方程设为截距式较好；第(2)问如果选择截距式，运算将非常繁杂，用点斜式或斜截式会好很多．值得欣慰的是，本题两问都可以用基本不等式较为快捷地解决． 【变式练习2】求经过点A(-2,2)且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程．直线方程的应用 【例3】某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建造一幢商业住宅．已知BC＝70 m，CD＝80 m，DE＝100 m，EA＝60 m，问如何设计才能使住宅楼占地面积最大？并求出最大面积(精确到1 m2)． 本题是一个生活实际问题，解法不只一种．像上面这样利用直线方程来解决是比较好的一种方法．因为要使得占地面积尽可能地大，线段AB上不取点是不现实的，而线段AB所在的直线方程可以用截距式很方便地写出，P点的横、纵坐标x、y满足，就可以消去一个未知量了，何乐而不为呢？ 点评【变式练习3】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求实数k的取值范围；(3)若直线l与x轴的负半轴交于A点，与y轴的正半轴交于B点，O是坐标原点，△AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线l的方程． 1.m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5必经过定点_____________. (9，－4)　3.已知直线l被坐标轴截得线段中点是(1，－3)，则直线l的方程是__________________.　3x－y－6＝04.过点(4，－3)的直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l的方程． 【解析】(1)当直线l过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0.故满足条件的直线方程是3x＋4y＝0. 5.在△ABC中，已知点A(5，－2)、B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程． 本节内容主要从两个方面考查： 一是如何利用题目给出的条件求直线方程，多用待定系数法，需要仔细审题，判明设直线方程的哪一种形式更为方便，并且要分类讨论，考虑周全，以免漏解； 二是直线方程的应用，包括用直线方程解决实际问题，也包括给出一个含参数的直线方程，根据条件讨论参数的取值范围等． 1．用待定系数法求直线方程时，要考虑特殊情形，以防丢解．下面列出直线方程的形式及注意事项： 名称条件方程注意事项点斜式已知直线的斜率为k且过点(x0，y0)y－y0＝k(x－x0)记得把直线x＝x0“捡回来”斜截式已知直线的斜率为k、纵截距为by＝kx＋b记得把k不存在的直线“捡回来”名称条件方程注意事项两点式已知直线过两点(x1，y1)、(x2，y2)记得把直线x＝x1和直线y＝y1“捡回来”截距式直线在x、y轴上的截距分别是a、b记得把过原点的直线及平行于坐标轴的直线“捡回来”一般式　Ax＋By＋C＝0注意B＝0和A＝0的陷阱 2.用待定系数法求直线方程的步骤：(1)根据判断，设所求直线方程的一种形式；(2)由条件建立所求参数的方程；(3)解方程(组)求出参数；(4)把参数值代入所设直线方程，最后将直线方程化为一般式． 4．在确定直线的倾斜角、斜率时，要注意倾斜角的范围、斜率存在的条件；在利用直线方程的几种特殊形式时要注意它们各自的适用范围，特别是在利用直线的点斜式与斜截式解题时，要防止由于“无斜率”而漏解，在解与截距有关的问题时，要防止“零截距”漏解现象．