弹性力学及有限单元法_邵国建_用差分法和变分法解平面问题.ppt

§5-1 差分公式的推导 差分法是微分方程的一种数值解法。 它不是去求解函数 ，而是求函数在一些结点上的值 。 差分法的内容是： 导数差分公式的导出： 应用泰勒级数导出差分公式，可得出统一的格式，避免任意性，并可估计其误差量级，式(b)的误差为 。 对结点3， 得： 稳定温度场中的温度场函数T(x，y)应满足下列方程和边界条件： 　　　　　　　 （在 A 中）, (a) 　　　　　　　 （在 上）, (b) 　　　　　　　 （在 上）. (c) 现在我们将式(a)，(b)，(c)转化为差分形式。应用图5－1网格，和抛物线差分公式， （1）将　　　　化为差分公式，得 （2）若x边界516上为第一类边界条件，则 已知。 （3）若y边界627上为第二类边界条件，已 知　　，则 ?由于　　　　　 所以得 这时，边界点2的　是未知的，对2点 须列出式（d）的方程。此方程涉及到 值，可将式（e）代入。 稳定温度场问题的 差分解。设图中的矩 形域为6m×4m ，取 网格间距为h=2m，布 置网格如图，各边界 点的已知温度值如图 所示，试求内结点a， b的稳定温度值。 1.比较导数的抛物线差分公式和线性差分公式的区别。 2.应用抛物线差分公式(5-2)，试导出3阶导数 的差分公式。 §5-2 应力函数的差分解 （3）求出 后，由下式求应力（假设无体力）: 对边界内一行结点列式(e)方程时，需要求出边界点和边界外一行结点（虚结点）的 值。 为了求虚结点的 值，需要求出边界点的 ， 值。 3.应用应力边界条件(b)，求出边界点的 ， ， 值。 ⑶因为A为定点， ， 和 ， ， ，均为常数，而式(h)中，加减x，y的一次式不影响应力，所以可取 故边界结点的 和导数值，由式(g)，(h)简化为 式(i)的物理意义是： 第一式表示从A到B边界上x向面力的主矢量； 第二式表示从A到B边界上y向面力的主矢量 改号; 第三式表示从A到B边界上面力对B点的力距， 图中以顺时针向为正。 因此，可以按物理意义直接求 和 。 ⑷ 由式(i)的第三式，可求出边界点的 值; 由式(i)的前两式，可求出边界点 的 ， 值，然后再求出边 界外一行虚结点的 值。 1，将应力函数　看成是覆盖于区域A和边 界s上的一个曲面，则在边界上，各点 的　值与从 A（基点）到B面力的合力 距有关， 的一阶导数值与A到B的面力 的合力（主矢量）有关；而在区域内， 应力分量与　曲面的曲率，扭率有关。 §5－3 应力函数差分解的实例 首先考虑对称性，可以减少未知值数目，并大量减少计算工作量。 按照物理意义，求出边界点上的 和其导数值（如书中所示）： 材料力学解─AM上 为直线分布， 弹性力学解─AM上 为曲线分布， 由此又说明，材料力学解法只适用于杆件。 （1）差分法是解微分方程边值问题和弹性 力学问题的有效方法。 （2）差分法简便易行，且总能求出解答。 （3）差