数学数值积分和数值微分.pptxVIP

第六章 数值积分和数值微分;?(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如： Newton-Leibnitz公式就无能为力了;(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数关系由表格或图形表示。对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分困难的。 由此可见, 通过原函数来计算积分有它的局限性, 因而需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。 将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想。 用代??插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容－－插值型积分。 ;同样对于函数f(x)的求导问题，因为在微分学中，函数f(x)的导数是通过极限定义的。若函数是以表格形式给出，或函数的表达式过于复杂时，也需要研究其数值计算方法。这是本章介绍的另一个内容 —数值微分。 6.2 数值积分概述 6.2.1 数值积分的基本思想 积分值 在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积。如图6-1所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边y=f(x) ; 建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的有两种： （1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得 即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为 的矩形面积。但是点ξ的具体位置一般是未知的, 因而 的值也是未知的, 称 为f(x) 在区间[a,b]上的平均高度。那么只要对平均高度 提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法;;;Simpson公式是以函数f(x)在a, b, (a+b)/2这三点的函数值f(a), f(b), 的加权平均值 似值而获得的一种数值积分方法。;6.2.2 插值求积公式? 设已知f(x)在节点 有函数值 ,作n次拉格朗日插值多项式 ;;设插值求积公式的余项为 ,由插值余项定理得 ;定义6.2 （代数精度） 设求积公式（6.4）对于一 切次数小于等于m的多项式( ;这是关于 的线性方程组，其系数矩阵;定理6.1 n+1个节点的求积公式 为插值型求积公式的充要条件是公式至少具有n次代数精度。 ;定理6.1 n+1个节点的求积公式 为插值型求积公式的充要条件是公式 至少具有n次代数精度。 ;例6.1 设积分区间[a, b]为[0, 2]，取 时, 分别用梯形和辛卜生公式 ; f(x) 1 x x2 x3 x4 ex 准确值 2 2 2.67 4 6.40 6.389 梯形公式计算值 2 2 4 8 16 8.389 辛卜生公式计算值 2 2 2.67 4 6.67 6.421;;例6.2 试确定一个至少具有2次代数精度的公式 ;例6.3 试确定求积系数A,B,C 使 具有最高的代数精度 解:分别取f(x)=1,x,x2 使求积公式准确成立,即 得如下方程组。;;;例6.5 给定求积公式如下： ;;由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。 ;;;;; 例6.7 给定求积公式;; 例 6.8 确定求积公式;构造插值求积公式有如下特点： 复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分 求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关，而与被积函数f(x)无关，可以不管f(x)如何，预先算出Ak的值 n+1个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度 求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性;;;;6.3 牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求