数理方程—横向纵向振动问题波动方程.pptxVIP

物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等领域中,研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。物理学中的定律，往往只给出这些函数和它们的各阶导数与自变量的关系。单摆的数学模型:牛顿第二定律: F = m a a—物体加速度;F—合外力;m—物体质量虎克定律: (1) f = –k x;f —弹力;k—弹性系数; x—弹簧伸长(2) p = Y ux;Y—杨氏模量; ux—弹性体相对伸长二元函数:u = u(x, t )一阶偏导数:几何意义——曲线的切线斜率二阶偏导数 物理意义——物体运动加速度二阶偏导数:几何意义——曲线曲率近似弦的横向振动问题 一根均匀柔软的细弦线,一端固定在坐标原点,另一端沿 x 轴拉紧固定在 x 轴上的 L 处，受到扰动，开始沿 x 轴(平衡位置)作微小横振动(细弦线上各点运动方向垂直于x 轴).试建立细弦线上任意点位移函数 u(x,t) 所满足的规律 . uT2dsT1ρgdsxOx x+dx设细弦上各点线密度为ρ, 细弦上质点之间相互作用力为张力T(x，t) 水平合力为零 ? T2 cos ?2－T1 cos ?1 = 0 cos ?1≈cos ?2 ≈1 ? T2≈T1≈T 铅直合力: F=m aT( sin ?2－sin ?1) = ρds uttsin ?1 ≈tan ?1? T( tan ?2－tan ?1) = ρds utt 其中T[ ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = ρds uttds≈dx? ? utt= a2 uxx一维波动方程: utt = a2 uxx 考虑有恒外力密度f(x，t)作用时，可以得到一维波动方程的非齐次形式 utt = a2 uxx + f(x, t)u(x,t)u(x+dx,t)Ox x+dxL细杆的纵向振动问题均匀细杆长为L，线密度为?，杨氏模量为Y，杆的一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动(沿x轴方向的振动)杆上质点位移函数 u(x，t) 细杆纵向振动时，细杆各点伸缩，质点位移 u(x，t) 改变，质点位移相对伸长为 ux，截面应力 P = Y uxY 是杨氏模量。截面的张力 T = SP。 T(x, t) = SY ux(x, t),T(x+dx, t) = SY ux(x+dx, t)?SY [ ux(x+dx, t) – ux(x, t) ]?用牛顿第二定律SY [ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = ? S dxutt ?由令 a2 = Y/?。化简，得utt = a2 uxx或弦振动问题定解条件细弦一端固定在坐标原点,另一端固定在 x 轴上的 L 处.受到垂直于 x 轴方向的扰动,作微小横振动。初始条件包括初始位移和初始速度 边界条件表示端点状态,初始条件表示历史状态u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=L=0 或:u(0,t)=0, u(L,t)=0初始条件: u(x,t)|t=0= ? (x), ut(x,t)|t=0=g(x) 或: u(x,0)= ? (x) , ut(x,0)=g(x) uhxOLL/2波动方程定解条件I波动方程定解条件II 细弦的线密度为?,一端固定在坐标原点,另一端固定在 x 轴上的 L 处.弦的中点受到垂直于 x 轴方向的冲量 I 的作用,作微小横振动。函数 u(x,t) 表示位移u(L,t)OL波动方程定解条件III 细杆在 x = 0 点固定, 在 x = L 处受外力 F(t) 作用 ? F(t) – SY ux( L , t ) = 0?波动方程定解条件IV 弦的一端固定在原点,另一端与 x 轴上 L 处的弹簧相接.受到扰动,作上下微小横振动。在右端点处(张力=弹性力) : Tux= -Ku令? =T/K, 得[u + ? ux]x=L=0偏微分方程定解条件小结:第一种情况: 初始条件( 求解区域为无界区域 )第二种情况: 初边值条件(求解区域为有界区域)第一类边界条件: 给定函数在边界上的函数值第二类边界条件: 给定函数在边界上的导数值第三类边界条件: 给定函数在边界上的函数值和导数值的线性组合习题2.1（P.22）1、2、3、4思考题弦振动和简谐振动的数学模型有何区别？弦的横振动和杆的纵振动的数学模型中位移函数u(x, t )有何不同？举一个实例简述第二类边界条件的物理背景