数值计算误差.pptxVIP

1 主要内容 误差的来源 几个基本概念 误差估计 数值稳定性/误差的传播与积累 数值计算中的一些注意事项 绝对误差、绝对误差限/误差限 相对误差、相对误差限 有效数字 2 误差 是人们用来描述数值计算中近似解的精确程度，是科学计算中的一个十分重要的概念 误差的来源 数值计算的误差 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量和实验得到模型中的各种数据 —— 观测误差 数学模型的数值求解 —— 截断误差（方法误差） 机器字长有限 —— 舍入误差 在数值分析中，我们总假定数学模型是准确的，因而不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响 3 误差举例 例：近似计算 4 误差举例 5 绝对误差： 绝对误差 x — 精确值x* — 近似值 绝对误差 可能取正，也可能取负 绝对误差 越小越具有参考价值 但 绝对误差 却不能很好地表示近似值的精确程度 6 相对误差 I can tell that this part’s diameter is 20cm0.1cm. Of course mine is more accurate ! The accuracy relates to not only the absolute error, but also to the size of the exact value I can tell that distance between two planets is 1 million light year ±1 light year. 7 相对误差 相对误差： 若存在正数 r*，使得 |er*|  r*， 则称 r*为相对误差限 近似值的精确程度取决于 相对误差 的大小 实际计算中我们所能得到的是 误差限 或 相对误差限 8 有效数字 有效数字：若近似值 x* 的误差限是某一位的半个单位，且该位到 x* 的第一位非零数字共有 n 位，则称 x* 有 n 位有效数字 9 有效数字 例： = 3··· ，近似值  x1 = 3.1415，x2 = 3.1416 问：x1, x2 分别有几位有效数字？ 例：写出下列各数的具有 5 位有效数字的近似值 187.9325，0.037855，8.000033 187.93，0.037856，8.0000 4，5 注：数字末尾的 0 不可以随意添加或省略！ 10 有效数字 思考：设 x* = a1.a2···an10m (a10)，且 |x - x*|  0.5  10k 则 x* 有 m+1-k 位有效数字? 11 有效数字 定理：设近似值 x* 可表示为 x* = a1.a2···al 10m (a10)， 若 x* 具有 n 位有效数字，则其相对误差限满足 1 r*  2a1  10-(n-1) 有效位数越多，相对误差限越小 12 误差估计 误差估计：估计误差限和相对误差限 13 误差估计 设一元函数 f (x) 可微，x*为 x 的近似值，则有 14 误差估计 15 数值稳定性 误差的传播与积累：原始数据的误差导致最终结果也有误差的过程称为误差的传播 16 数值稳定性 可得 但显然有 ? What happened?! ? ? ? ? 17 数值稳定性 考察第 n 步的误差 即有 误差以 5 倍的速度增长！ 我们需要改变算法! 说明该计算过程是不稳定的！ 18 数值稳定性 具体思路：先估计一个 SN ，再反过来求 Sn ( n N ) 在数值计算中，误差不可避免， 算法的稳定性是一个非常重要的性质。 ex11.m 19 数值稳定性 算法的稳定性：在计算过程中，如果误差不增长，则称该算法是稳定的，否则为不稳定的。 例：教材第 9 页，例 5 20 数值计算注意事项 避免相近的数相减 例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。 而 a2  a1 = 0.00001，只剩下1位有效数字。 例：教材第 11 至 12 页，例 7，8，9，10 21 数值计算注意事项 避免数量级相差很大的数相除 可能会产生溢出的情形 避免大数吃小数 例：计算 (109+10-9-109)/10-9 例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 S=1 + 2 + 3 + … + 40 + 108 ex12.m 求和时 从小到大 相加，可使结果的误差减小 22 数值计算注意事项 简化计算，避免误差积累 选用稳定的算法 例：已知 p(x) = xn + xn-1+ ··· + x