2010年考研数一真题及解析.doc

2010 数学（一）试题 第 PAGE 1 页 共 14 页 2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.) (1) 极限 ( ) (A) 1. (B) . (C) . (D) . (2) 设函数,由方程确定,其中为可微函数,且,则( ) (A) . (B) . (C) . (D) . (3) 设是正整数,则反常积分的收敛性 ( ) (A) 仅与的取值有关. (B)仅与的取值有关. (C) 与取值都有关. (D) 与取值都无关. (4) ( ) (A) . (B) . (C) . (D) . (5) 设为矩阵,为矩阵,为阶单位矩阵,若,则 ( ) (A) 秩,秩. (B) 秩,秩. (C) 秩,秩. (D) 秩,秩. (6) 设为4阶实对称矩阵,且,若的秩为3,则相似于 ( ) (A) . (B) . (C) . (D) . (7) 设随机变量的分布函数,则= ( ) (A) 0. (B) . (C) . (D) . (8) 设为标准正态分布的概率密度,为上均匀分布的概率密度,若,为概率密度,则应满足 ( ) (A) . (B) . (C) . (D) . 二、填空题(914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.) (9) 设 求. (10) . (11) 已知曲线的方程为,起点是,终点是,则曲线积分. (12) 设,则的形心的竖坐标. (13) 设,若由生成的向量空间的维数是2,则. (14) 设随机变量的概率分布为,,则= . 三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分) 求微分方程的通解． (16)(本题满分10分) 求函数的单调区间与极值. (17)(本题满分10分) (I)比较与的大小,说明理由； (II)记,求极限. (18)(本题满分10分) 求幂级数的收敛域及和函数. (19)(本题满分10分) 设为椭球面上的动点,若在点处的切平面与面垂直,求点的轨迹,并计算曲面积分,其中是椭球面位于曲线上方的部分. (20)(本题满分11分) 设,已知线性方程组存在两个不同的解. ( I ) 求,； ( II ) 求方程组的通解. (21)(本题满分11 分) 已知二次型在正交变换下的标准形为,且的第三列为. ( I ) 求矩阵； ( II ) 证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分) 设二维随机变量的概率密度为 ,,, 求常数及条件概率密度． (23) (本题满分11分) 设总体的概率分布为 1 2 3 其中参数未知,以表示来自总体的简单随机样本(样本容量为)中等于的个数().试求常数,使为的无偏估计量,并求的方差. 2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题参考答案 一、选择题 (1)【答案】 (C). 【解析】本题属于未定式求极限,极限为型,故可以用“的抬起法”求解． , 其中又因为 故原式极限为,所以应该选择(C). (2)【答案】 (B). 【解析】, , ． (3) 【答案】 (D). 【解析】与都是瑕点.应分成 , 用比较判别法的极限形式,对于,由于. 显然,当,则该反常积分收敛. 当,存在,此时实际上不是反常积分,故收敛. 故不论是什么正整数,总收敛.对于,取,不论是什么正整数, , 所以收敛,故选(D). (4)【答案】 (D). 【解析】 . (5)【答案】 (A). 【解析】由于,故.又由于,故 ① 由于为矩阵,为矩阵,故 ② 由①、②可得,故选A. (6)【答案】 (D). 【解析】设为的特征值,由于,所以,即,这样的特征值只能为-1或0. 由于为实对称矩阵,故可相似对角化,即,,因此,,即. (7) 【答案】 (C). 【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段