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导数之双变量问题(极值点偏移问题)
一、极值点偏移的判定定理
对于可导函数,在区间上只有一个极大(小)值点,方程的解分别为,且,
(1)若,则,即函数在区间上极(小)大值点右(左)偏;
(2)若,则,即函数在区间上极(小)大值点右(左)偏.
证明:(1)因为对于可导函数,在区间上只有一个极大(小)值点,则函数的单调递增(减)区间为,单调递减(增)区间为,由于,有,且,又,故,所以,即函数极(小)大值点右(左)偏;
(2)证明略.
左快右慢(极值点左偏) 左慢右快(极值点右偏)
左快右慢(极值点左偏) 左慢右快(极值点右偏)
二、运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、方法概述:
(1)求出函数的极值点;
(2)构造一元差函数;
(3)确定函数的单调性;
(4)结合,判断的符号,从而确定、的大小关系.
口诀:极值偏离对称轴,构造函数觅行踪;四个步骤环相扣,两次单调紧跟随.
2、抽化模型
答题模板:若已知函数满足,为函数的极值点,求证:.
(1)讨论函数的单调性并求出的极值点;
假设此处在上单调递减,在上单调递增.
(2)构造;
注:此处根据题意需要还可以构造成的形式.
(3)通过求导讨论的单调性,判断出在某段区间上的正负,并得出与的大小关系;
假设此处在上单调递增,那么我们便可得出,从而得到:时,.
(4)不妨设,通过的单调性,,与的大小关系得出结论;
接上述情况,由于时,且,,故,又因为,且在上单调递减,从而得到,从而得证.
方法一:对称结构利用构造新函数论证双变量问题,形如:
1.已知函数,记为的导函数.
(1)若曲线在点处的切线垂直于直线,求的值;
(2)讨论的解的个数;
(3)证明:对任意的,恒有.
方法二:用两式相加减把双变量变单变量
2.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当函数有两个不相等的零点时,证明: .
方法三:用韦达定理把双变量变单变量
已知函数, 存在两个极值点
.
(1)求的最小值;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
方法四:利用极值点偏移对称构造新函数
4、已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)若,且,证明:.
课后作业——好题精选
1.已知函数,其中.
(1)当时,在处取得极值,求函数的单调区间;
(2)若时,函数有两个不同的零点,
①求的取值范围;
②求证:.
2.已知函数,其中为常数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若存在两个极值点,求证:无论实数取什么值都有.
3.已知函数.
(1)若函数在处的切线与直线平行,求实数的值;
(2)试讨论函数在区间上的最大值;
(3)若时,函数恰有两个零点(),求证:.
4.已知函数,.
(1)若在处取得极值,求的值;
(2)设,试讨论函数的单调性;
(3)当时,若存在正实数满足,求证:.
5.已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)设是的两个零点,证明:.
6.设函数有两个零点,且.
(1)求的求值范围;
(2)求证:.
导数之双变量问题(极值点偏移问题)参考答案
方法一:对称结构利用构造新函数论证双变量问题,形如:
1.已知函数,记为的导函数.
(1)若曲线在点处的切线垂直于直线,求的值;
(2)讨论的解的个数;
(3)证明:对任意的,恒有.
试题分析:(1)函数的定义域为,求导得由导数的几何意义可得,再根据切线垂直于直线,可得,可得的值;
(2)令得,构造函数,讨论其担心及其性质可讨论的解的个数;
(3)
讨论函数的性质可得所要证明结果
解:(1)由已知可得,函数的定义域为
,所以又切线垂直于直线,所以,即,所以
(2)由(1)可得,令得,
则,所以在上单调递减,在上单调递增.
又当时, ,当时, ,当时, ,
故当时, 无解;
当时, 有唯一解;
当时, 有两解.
(3)令
在单调递减
又
.
方法二:用两式相加减把双变量变单变量
2.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当函数有两个不相等的零点时,证明: .
试题分析:(1)先求函数导数,根据导函数是否变号进行讨论,根据导函数符号确定单调性
(2)根据进行加减变形得到= = ,令 ,构造函数,再利用导数确定其单调性,即证得结论
解:(1)当时, 在单调递增;
当时, 在单调递减; 在单调递增;
(2)不妨设,由题意得
相加,相减得: ,要证,只需证
= = ,只需证
只需证,设 ,只需证
设,则, ,所以原命题成立。
点睛:利用导数证明不等式常见类型及解题策略
(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
方法三:用韦
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