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E
E
1.正方形的定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2.正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形.它具有前三者的所有性质:
边的性质:对边平行,四条边都相等.
角的性质:四个角都是直角.
对角线性质:两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角. ④ 对称性:正方形是中心对称图形,也是轴对称图形.
平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系:(如图) 3.正方形的判定
判定①:有一组邻边相等的矩形是正方形. 判定②:有一个角是直角的菱形是正方形.
教学目标
掌握正方形的定义和性质,弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。
提高学生分析问题及解决问题的能力。
通过分析概念之间的联系与区别,培养学生辨证唯物主义观点
重、难点
重点:知晓正方形的性质和正方形的判定方法。 难点:正方形知识的灵活应用
例题精讲
一、正方形的性质
【例 1】 (2009 年佛山市)正方形有
条对称轴.
【例 2】 (2009 年郴州市)如图, E 是正方形 ABCD 对角线 BD 上的一点,求证: AE ?CE .
?
D
C
【补充】如图, P 为正方形 ABCD 对角线上一点, PE ? BC 于 E , PF ?CD 于 F . 求证: AP ?EF .
PF
P
F
?
E
D
F
C
【例 3】 如图所示,正方形 ABCD 对角线 AC 与 BD 相交于 O , MN ∥ AB ,且分别与 AO、BO 交
于 M 、N .试探讨 BM 与 CN 之间的关系,写出你所得到的结论的证明过程.
D
O
M
A
C
N
B
【例 4】 已知正方形 ABCD ,在 AD 、 AC 上分别取 E 、 F 两点,使 ED∶AD∶?2FC AC ,求证: ?BEF 是 等腰直角三角形.
【例 5?】 如图,已知 E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 BC 、 CD 上的点, AE 、 AF 分别与对角线 BD 相交于 M 、 N ,若 ?EAF ?50?,则 ?CME ??CNF ? .
D C
N
E
M
A
B
【例 6】 如果点 E 、 F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上两点,且 BE ?DF ,你能判断四边形 AECF 的形状吗? 并阐明理由.
A
D
F
E
B
C
【例 7】 如图,正方形 ABCD 中,在 AD 的延长线上取点 E , F ,使 DE ?AD , DF ?BD .连结 BF 分别交 CD , CE 于 H , G .求证: ?GHD 是等腰三角形.
E?
E
?
D
D
A
D
E
F
2
H
4
G
1
3
B
C
【变式】 如图,过正方形顶点 A 引 AE ∥ BD ,且 BE ?BD .若 BE 与 AD 的延长线的交点为 F ,求证 DF ?DE .
A
D
F
G
?
B
E
【例 8】 如图所示,在正方形 ABCD 中, AK 、 AN 是 ?A 内的二射线,
BK ? AK , BL ? AN , DM ? AK , DN ? AN ,求证 KL ?MN , KL ?MN .
D
C
N
L
K
M
A
B
【例 9】 (2006 晋江市中考)如图,正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边 CE 上,连接 BE , DG , 求证: BE ?DG .
?
E
C
【例 10】 (2007 年三帆中学期中考试)如图,在正方形 ABCD 中, E 为 CD 边上的一点, F 为 BC 延长 线上的一点, CE ?CF , ?FDC ?30?,求 ?BEF 的度数.
D
C
F
【例 11】 (2009 年哈尔滨)若正方形 ABCD 的边长为 4 , E 为 BC 边上一点, BE ?3 , M 为线段 AE 上 一点,射线 BM 交正方形的一边于点 F ,且 BF ?AE ,则 BM 的长为 .
【例 12】 (2009 威海)如图 1,在正方形 ABCD 中, E 、 F 、 G 、 H 分别为边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 上的点, HA ?EB ?FC ?GD ,连接 EG 、 FH ,交点为 O .
如图 2,连接 EF ,FG,,GH HE ,试判断四边形 EFGH 的形状,并证明你的结论;
将正方形 ABCD 沿线段 EG 、 HF 剪开,再把得到的四个四边形按图 3 的方式拼接成一个
OOMH2EB
O
O
M
H
2
E
B
?
四边形.若正方形 ABCD 的边长为 3cm , HA ?EB ?FC ?GD ?1cm ,则图 3 中阴影部分的面积 为_____
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