高中数学合情推理与演绎推理课件.ppt

* * 2.1.1合情推理 2.1 合情推理与演绎推理 * 在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。例如: 1、什么是推理 推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。 医生诊断病人的病症， 警察侦破案件， 气象专家预测天气的可能状态， 考古学家推断遗址的年代， 数学家论证命题的真伪等等。 在数学中，证明的过程更离不开推理。 * 2、数学猜想 数学中有各种各样的猜想，如：歌德巴赫猜想、费马猜想、地图的“四色猜想”、歌尼斯堡七桥猜想等等。 * 歌德巴赫猜想提出猜想的过程： 据说歌德巴赫无意中观察到： 3+7=10，3+17=20，13+17=30， 他有意把上面的式子改写成： 10=3+7，20=3+17，30=13+17。 其中反映了一个规律： 偶数=奇质数+奇质数 于是，歌德巴赫产生了一个想法：10，20，30都是偶数，那么其他偶数是否也有类似的规律呢？ * 显然，第一个等于两个奇质数之和的偶数是6，即 再看看超过6的偶数： 6=3+3 8=3+5， 10=5+5， 12=5+7， 14=7+7， 16=5+11， …… 1000=29+971， 1002=139+863， …… 根据上述过程，歌德巴赫大胆地猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。 * 现在，我们来考察一下歌德巴赫提出猜想的过程： 通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例。于是，提出猜想——“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”。 这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事物概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。 简而言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。 * 应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，下面是一个数学中的例子。 例1 观察图2.1-1，可以发现： 1 2 3 4 5 6 7 1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， …… 由上述具体事实能提出怎样的 结论？ 可以猜想：前n 个连续奇数的和等于n的平方， 即 * 例2 已知数列{an}的第1项a1=1，且 可以根据已知的递推公式，算出数列的前几项，然后归纳猜想它的通项公式。 ，试归纳出这个数列的通项公式。 在例1和例2中，我们通过归纳得到了两个猜想。虽然它们是否正确还有待严格的证明，但猜想可以为我们的研究提供一种方向。 * 归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还需证明 例如，法国数学家费马观察到 都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如 的数都是质数。 ——这就是著名的费马猜想。 半个世纪之后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数 不是质数，从而推翻了费马的猜想。 * 除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比。 例如： 据说我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙，发明了锯； 人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；等等。事实上，仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。 为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等。由此，科学家猜想：火星上可能有生命存在。 * 思考：P72 科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？ 答：在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的一个已知特征（有生命存在）出发，猜测火星也可能具有这个特征。 * 数学研究中也常常进行这样的推理。 例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于球与圆在形状上都有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测对于圆的特征，球也可能具有。 圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径， 类比： 对于球，我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点都球心的距离等于球的半径。 平面内不共线的3个点确定一个圆， 类比： 猜想空间中不共面的4个点确定一个球；等等。 * 探究P72： 类比圆的特征，填写表2-1中球的相关特征，并说说推理的过程