高中数学培优辅导专题7： 圆锥曲线中的最值与范围.docVIP

PAGE 专题七 圆锥曲线中的最值与范围 “以能力立意命题”是考试大纲总的要求，也是高考命题总的方向．对学生能力的考察离不开思想方法的考察，在圆锥曲线的背景下讨论最值或范围问题，能系统的将函数与方程的思想、数形结合思想等多种数学思想结合在一起，更利于综合考察学生的能力． 模块1 整理方法 提升能力 圆锥曲线中的最值与范围问题的类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有以下3种方法： 方法1：几何法．若题目的条件或结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解． 方法2：代数法．把所求的量表示为某个（某些）参数的函数解析式，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．对于大多数题目来说，主要是选择一个参数去表示所求的量，从而把问题转化为求函数的值域问题．由于引进的参数往往不只一个，所以解题时通常涉及到消参问题．如果用两个参数去表示所求的量（不能通过消参留下一个未知数），则往往考虑使用均值不等式． 方法3：不等式（组）法．由题目所给的条件寻找所求量满足的不等式（组），通过该不等式（组）的求解得到所求量的最值或取值范围． 上述三种方法中，方法主要在小题中体现，解答题中以方法2最为常见． 例1 已知抛物线的顶点为，焦点为． （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线交抛物线于、两点，若直线 、分别交直线：于、两点，求 的最小值． 【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为（），则，即，所以抛物线的方程为． （2）设，，直线的方程为．由，消去，可得，从而，，．由，解得点的横坐标为，同理可得点的横坐标为．由弦长公式可得 ，于是，其中． 法1：令，则，所以，所以 ，令，则，，当，即，时，有最小值，所以有最小值． 法2：，令，则，所以，所以．当时，，取负数时，有，所以．于是当，即，有最小值，所以有最小值． 【点评】利用代数法求最值或范围问题，其难点在于选用一个（或两个）参数去表示目标函数．我们常常可以从直线的斜率、截距、点的坐标等角度引进参数，然后根据题目所给的条件消去参数，直至剩下一个参数或两个参数（以一个参数的情况占绝大多数）．本题总共引进了7个参数：、、、、、和，最终是用参数表示，而其余的6个参数只是中间过渡的量，要注意体会如何利用“设而不求”的思想消去这6个中间过渡的参数． 的表达式有两个特点：一是分式，二是分子和分母的最高次数一致．求这种特点的函数最值的常见方法有两种，一是将分子或分母看成一个整体，最多经历两次换元得到一个二次函数；二是分离参数，再使用基本不等式．法2在分离参数后，需要换元才能使用基本不等式，因此法2比法1的二次函数法要复杂很多． 例2 设椭圆（）的右焦点为，右顶点为．已知，其中为原点，为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点．若，且，求直线的斜率的取值范围． 【解析】（1）设，由，即，，又，所以，因此，所以椭圆的方程为． （2）设直线的斜率为（），则直线的方程为．设，，．在△中，，即，化简得． 由方程组，消去，整理得．于是，从而．由（1）知，所以，，由，得，所以，解得，因此直线的方程为．由方程组，消去，解得．于是，解得或，所以直线的斜率的取值范围为． 【点评】由，可得到不等式，此时只要用去表示，就能得到有关的不等式，这也是需要满足的唯一一个不等式，解这个不等式就能求出的取值范围． 例3 已知椭圆：的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为（）的直线交于、两点，点在上，． （1）当，时，求△的面积； （2）当时，求的取值范围． 【解析】（1）当时，椭圆的方程为，直线的方程为．联立，消去可得，于是，所以．同理，．由可得，化简可得，即，解得． （2）直线的方程为．联立，消去可得，于是，所以．同理，．由可得，整理可得．因为椭圆的焦点在轴上，所以，即，整理可得，解得． 【点评】对于第（2）问，我们能找到的不等式只有．如果能用去表示，就可以通过代数法求出的取值范围；如果能用去表示，就可以通过不等式法求出的取值范围． 模块2 练习巩固 整合提升 练习1：如图，设抛物线（）的焦点为， 抛物线上的点到轴的距离等于． （1）求的值； （2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的 直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点， 求的横坐标的取值范围． 【解析】（1）依题意，抛物线上的点到轴的距离等于点到焦点的距离，由抛物线的定义可得． （2）由（1）可知抛物线的方程为，．设点（，），，，因为直线不垂直于轴，所以可设直线的方程为（），其中．联立，消去可得，所以，．直线的方程为，直线的方程为，所以点的坐标为． 因为、、三点共线，而，，所以，解得．因为，所以的横坐标的取值范围是． 练习2：椭圆：（）的离心率为，直线和所围成的矩形的面积