高中数学培优辅导专题6： 圆锥曲线中的轨迹问题.docVIP

PAGE PAGE PAGE 8 专题六 圆锥曲线中的轨迹问题 轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了．根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是高考的常考点：一方面，求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想． 模块1 整理方法 提升能力 曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下种： 1．定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法． 2．直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含未知数、的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法． 3．参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使、之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做参数法．一般来说，引进了个未知数与参数，要得到未知数与之间的关系，需要找个方程．常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等．相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况． 例1 已知点，圆：，过点的动直线与圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及△的面积． 【解析】（1）法1（定义法）：圆心，由垂径定理可知，于是点在以为直径的圆上，所以的轨迹方程为，即． 法2（直接法）：设的坐标为，由可得．，，于是，即． 法3（参数法）：当的斜率不存在时，其直线方程为，于是，所以点的坐标为． 当的斜率存在时，设直线方程为，．联立消去可得，于是，将代入，消去参数，可得，整理可得（）． 综上所述，的轨迹方程为． （2）法1：由可知点在以原点为圆心，为半径的圆上．联立，解得，于是点的坐标为，于是直线的方程为，即．△的面积为． 法2：由可知点在的垂直平分线上，而的垂直平分线过圆心，所以直线的斜率为，直线方程为，即．因为，点到直线的距离为，所以，于是△的面积为． 【点评】解析几何中两直线垂直的常见转化有以下4种：点在圆上，向量数量积为0，斜率乘积为，勾股定理．用“点在圆上”的角度能从定义法出发直接得到轨迹方程；用“向量数量积为0”的角度能避开分类讨论． 求轨迹方程时，先考虑定义法，看是否满足某种曲线的定义，再考虑直接法，看能否得到一个几何条件，进而将该几何条件代数化再化简，最后再考虑参数法，引进参数解决问题． 例2 在直角坐标系中，曲线上的点均在圆：外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值． （1）求曲线的方程； （2）设（）为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点、和、．证明：当在直线上运动时，四点、、、的纵坐标之积为定值． 【解析】（1）法1：由题设知，曲线上任意一点到圆的圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以方程为． 法2：设的坐标为，由已知得，且点位于直线的右侧，于是，所以，化简得曲线的方程为． 【证明】（2）当点在直线上运动时，设的坐标为，又，则过且与圆相切的直线的斜率存在且不为，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为，即．于是，整理得…①．设过所作的两条切线、的斜率分别为、，则、是方程①的两个实根，所以…②． 由可得…③．设四点、、、的纵坐标分别为、、、，则、是方程③的两个实根，所以，同理可得．于是 ．所以当在直线上运动时，四点、、、的纵坐标之积为定值． 【点评】定义法和直接法非常相似，其出发点都是找几何条件，其区别在于对所找的几何条件的理解．如果能发现所找的几何条件是满足某种曲线的定义的，则可以根据曲线的定义马上得到所求的轨迹方程，这就是定义法．如果所找的几何条件究竟满足哪种定义不太明显，则可以利用直接法，把所找的几何条件代数化，再把代数化后的式子化简到最简．第（2）问的定值证明需要引进参数，而引进多少个参数是因题而异的，一般是从点的坐标和直线的方程这两个角度引进参数．本题总共引进了六个参数：、、、、、，其准则是所引进的参数都能帮助解题，且最终都能将其消去，这是解析几何中“设而不求”的重要思想方法． 例3 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线、分别交于、两点，交的准线于、两点． （1）若在线段上，是的中点，证明：∥； （2）若△的面积是△的面积的两倍，求中点的轨迹方程． 【证明】（1）焦