高中数学1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质课件.ppt

* 例3 * “杨辉三角”与二项式系数的性质 一般地，对于n N*有 二项定理: 新课引入 二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？ 计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 n (a+b)n展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 1 6 15 20 15 6 1 1 5 10 10 5 1 1 4 6 4 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 对称性 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 议一议 1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗? ①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 + + + + + + + + + + + + + + + 《详解九章算法》中记载的表 杨 辉 杨辉三角 二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右图中的7个孤立点． ①对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 得到． 图象的对称轴： 二项式系数的性质 2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等， 知识对接测查1 1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项 则n=__________ B 8 ②增减性与最大值 由于： 所以 相对于 的增减情况由 决定 二项式系数的性质 由： 即二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 可知，当 时， 因此,当n为偶数时,中间一项的二项式 系数 取得最大值； 当n为奇数时,中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值。 ②增减性与最大值 二项式系数的性质 1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 ； 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 . 3.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。 最大的系数呢？ 知识对接测查2 2.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数 最大。 解: 第8、9项的二项式系数 即6435最大。 变式:若将“只有第10项”改为“第10项”呢？ 解 ③各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于： 同时由于 ，上式还可以写成： 这是组合总数公式． 二项式系数的性质 例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 在二项式定理中，令 ，则： 赋值法 证明： (1)二项式系数的三个性质 (2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象； c 最值。 小结 问题探究: (1)今天是星期五，那么7天后 的这一天是星期几呢? （星期五） (2)如果是15天后的这一天呢？ （星期六） (3)如果是24天后的这一天呢？ （星期一） (4)如果是 天后的这一天呢？ * 例3 *