人教版初中数学8年级专题13.3 等腰三角形 13.4 课题学习 最短路径问题.doc

1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角__________（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互__________（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边__________的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对__________”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 3．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是__________三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于__________． 【注意】（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 4．等边三角形的判定 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的__________三角形是等边三角形． 5．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__________． 【注意】（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 6．最短路径问题 1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置． 2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置． K知识参考答案： 1．相等，重合2．相等，等边3．等边，60° 4．等腰5．一半 K—重点 等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质 K—难点 等腰三角形中的分类讨论问题 K—易错 等腰三角形“三线合一”性质的应用 一、等腰三角形的性质和判定 1． 应用“三线合一”性质的前提条件是在等腰三角形中，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合． 2．等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴． 【例1】如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是 A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠C C．△ABC是等腰三角形 D．△ABC是等边三角形 【答案】D 【解析】因为AD⊥BC，D是BC的中点，所以△ABD与△ACD关于直线AD对称，由轴对称的性质可知△ABD≌△ACD，∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，但不能得到△ABC是等边三角形，故选D． 【例2】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是 A． B． C． D．或 【答案】D 【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F． 求证：△AEF是等腰三角形． 【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD． 又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD， ∴∠FEA=∠F， ∴△AEF是等腰三角形． 二、等边三角形的性质和判定 判定等边三角形时常用的选择方法： 若已知三边关系，一般选用（1）； 若已知三角关系，一般选用（2）； 若已知该三角形是等腰三角形，一般选用（3）． 【例4】下列推理中，错误的是 A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形 B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC