人教版初中数学8年级专题16.1 二次根式.doc

第十六章 二次根式 16.1 二次根式 1．二次根式的概念 一般地，我们把形如（a0）的式子叫做二次根式，“”称为__________． 理解二次根式的概念，要把握以下四点： （1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”． （2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式． （3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． 【注意】（1）在具体问题中，如果已知二次根式，就隐含a≥0这一条件． （2）形如的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成． 2．二次根式有无意义的条件 类型 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数（式）为非负数 有意义a__________0 二次根式无意义 被开方数（式）为负数 无意义a__________0 3．二次根式的性质 （1）； （2）； （3）． 【拓展】（1）若，则a=0，b=0； （2）若，则a=0，b=0； （3）若，则a=0，b=0； （4）若，则a=0，b=0，c=0． 4．代数式 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫__________．例如3，x，x+y，，-ab，，x3都是代数式． 【注意】（1）代数式中不能含有关系符号（“=”“”或“”等）． （2）将两个代数式用关系符号（“=”“”或“”等）连接起来的式子叫关系式．方程和不等式都是关系式．如2x+33x-5就是关系式． K知识参考答案： 1．二次根号 2．≥， 3．，， 4．代数式 K—重点 二次根式的概念；二次根式有无意义的条件；二次根式的性质 K—难点 二次根式的性质 K—易错 不能全面考虑字母的取值范围 一、二次根式的概念 判断一个式子是不是二次根式时，只看它的初始的外在形态，不看它计算或化简的结果．如，3是 的计算结果，是二次根式． 【例1】下列式子中二次根式的个数有 ；；；；；； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 二、二次根式有意义的条件 求使代数式有意义的字母的取值范围的类型： （1）二次根式型：被开方数大于或等于0； （2）分式型：分母不等于0； （3）复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分． 【例2】当有意义时，a的取值范围是 A．a≥2 B．a2 C．a≠2 D．a≠-2 【答案】B 【解析】根据二次根式的意义，被开方数a-2≥0，解得：a≥2，根据分式有意义的条件：a-2≠0，解得：a≠2，∴a2．故选B． 三、二次根式非负性的应用 若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0． 【例3】若，则的值为 A．0 B．1 C．–1 D．2 【答案】A 【解析】由+=0，得x–1=0，x+y=0，解得x=1，y=–1，所以=1+（–1）=1–1=0，故选A． 四、二次根式的性质 化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值． 【例4】下列计算正确的是 A．=a B．=a-2 C．（）2=±6 D．（）2=x+y 【答案】D 五、二次根式的求值 运用进行化简，当a的符号无法判断时，就需要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏． 【例5】已知：是整数，则满足条件的最小正整数为 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】∵=，且是整数，∴2是整数，即5n是完全平方数， ∴n的最小正整数为5．故选D． 【例6】设a，b，c为△ABC的三边，化简 ． 【解析】根据三角形的三边关系可得：a+b+c0，a-b-c0，b-a-c0，c-b-a0， 原式=a+b+c+b-a+c+a-b+c+b-c+a=2（a+b+c）． 1．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列式子中属于代数式的有 ①0；②x；③x+2；④2x；⑤x=2；⑥x2；⑦；⑧x≠2． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．若为二次根式，则m的取值范围为 A．m≤3 B．m3 C．m≥3 D．m3 4．对于二次根式，以下说法不正确的是 A．它是一个正数 B．它的最小值是3 C．是最简二次根式 D．是一个无理数 5．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 A．x0 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1 6．当x__________时，是二次根式．