人教版初中数学8年级专题16.2 二次根式的乘除.doc

第十六章 二次根式 16.2 二次根式的乘除 1．二次根式的乘法法则 （1）一般地，二次根式的乘法法则是： ． 语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数__________． 在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件． 推广：①． ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数； ③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． （2）二次根式乘法法则的逆用 ． 语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积． 公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0．实际上，a≥0，b≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可． 二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用． 推广：． 运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），则可以利用性质及将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简． 利用积的算术平方根的性质化简的步骤： ①将被开方数进行因数分解或因式分解； ②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来． 2．二次根式的除法法则 （1）一般地，二次根式的除法法则是： ． 语言叙述：二次根式相除，把被开方数__________，根指数不变． 【注意】①a≥0，b0时，式子才成立，若a，b都是负数，虽然有意义，但在实数范围内无意义；若b=0，则号无意义． ②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数． ③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式． （2）二次根式除法法则的逆用 ★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根． 公式中的a，b表示的代数式必频满足a≥0，b0，a≥0，b0是限制公式右边的，对公式的左边，只要且即可． 利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a≥0，b0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）被开方数不含__________； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化． 分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜． K知识参考答案： 1．，不变 2．，相除 3．分母 K—重点 二次根式的乘法和除法；最简二次根式的判断 K—难点 二次根式的乘法法则和除法法则的逆用 K—易错 运算顺序错误；忽视隐含条件 一、二次根式的乘法 1．法则中的a，b表示的代数式都必须是非负的． 2．两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方． 【例1】下列计算正确的是 A．2×3=6 B．3×3=3 C．4×2=8 D．2×6=12 【答案】D 【例2】化简得 A．144 B．±144 C．±12 D．12 【答案】A 【解析】=．故选A． 二、二次根式的除法 1．； 2．，其中． 【例3】等式成立的条件是 A．a、b同号 B．a≥0，b0 C．a0，b0 D．a0，b≥0 【答案】B 【解析】由二次根式的非负性可知，a≥0，b≥0，由于b是分母，故b0．故选B． 【例4】计算的结果为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原式=4x÷=4x×=×3=2×3=6，故选C． 三、二次根式的乘除混合运算 二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用． 二次根式乘除混合运算的一般步骤： （1）将算式中的除法转化为乘法； （2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算； （3）将系数和被开方数分别相乘； （4）化成最简二次根式． 【例5】计算：于 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】．故选A． 四、最简二次根式 判断二次根式是不是最简二次根式的方法： 一看：看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（或因式），且被开方数中是否含有分母． 二化：若被