人教版初中数学8年级专题17.1 勾股定理.doc

第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 1．勾股定理 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的__________等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2． 【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是__________；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． （2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 2．勾股定理的证明 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理． 对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等． 3．勾股定理的应用 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下： （1）已知直角三角形的任意两边求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； （3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题； （4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题． K知识参考答案： 1．平方和 a2+c2=b2 K—重点 勾股定理；勾股定理的应用 K—难点 勾股定理的证明 K—易错 考虑问题不全面而出现漏解；在非直角三角形中直接运用勾股定理而致错 一、勾股定理 已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式． 【例1】已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则第三边长为 A．5 B． C．或5 D． 【答案】A 【解析】由勾股定理得：斜边=．故选A． 二、勾股定理的证明 勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题． 【例2】中国古代数学家们对勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，若，．请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明； （2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求的值． 三、勾股定理点的应用 利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助线构造出直角三角形． 【例3】如图，有一只小鸟在一棵高13 m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12 m，高8 m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2 m/s的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？ 【解析】过B作BC⊥AD，垂足为点C，如图， 根据题意，得AC=AD-BE=13-8=5 m，BC=12 m． 根据勾股定理，得AB==13 m． 则小鸟所用的时间是13÷2=6.5（s）． 答：这只小鸟最短要飞13 m，至少6.5 s才可能到达小树和伙伴在一起． 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c．若a=5，b=12，则c的长为 A． B．13 C．18 D．169 2．如果Rt△的两直角边长分别为k2-1，2k（k1），那么它的斜边长是 A．2k B．k+1 C．k2-1 D．k2+1 3．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为 A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 4．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3 m处折断，树顶端落在离树底部4 m处，则树折断之前高 A．5 m B．7 m C．8 m D．10 m 5．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为 A．8 B．9 C．10 D．11 6．若直角三角形的三边长分别为、a、，且a、b都是正整数，则三角形其中一边的长可能为 A．22 B．32 C．62 D．82 7．如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为__________． 8．若△ABC中，∠C=90°． （1）若a=5，b=12，则c=__________； （2）若a=6，c=10，则b=__________； （3）若a∶b=3∶4，c=10，则a=__