人教版初中数学8年级专题11.2 与三角形有关的角.doc

第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 1．三角形的内角 （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于___________． （2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有___________个锐角，最多有一个___________． 【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形． （2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角． 2．直角三角形的性质与判定 （1）直角三角形的两个锐角___________． （2）有两个角互余的三角形是___________． 【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路： （1）见直角三角形，可得两锐角互余． （2）见两角互余，可得直角三角形． 3．三角形的外角 （1）定义：三角形的一边与另一边的___________组成的角，叫做三角形的外角． （2）三角形的外角等于___________的和． （3）三角形的一个外角___________与它不相邻的任意一个内角． 【拓展】 （1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角． （2）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°． K知识参考答案： 1．（1）（2）两，钝角或直角2．（1）互余（2）直角三角形 3．（1）延长线（2）与它不相邻的两个内角（3）大于 K—重点 三角形内角和定理 K—难点 三角形外角及其性质 K—易错 三角形外角及其性质 一、三角形内角和定理 1．当三角形中已知角之间存在数量关系，求某角的大小时，一般要用一个角表示其他角并根据三角形内角和为180°，列方程来解决． 2．应用 （1）在三角形中，已知两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数． （2）在三角形中，已知三个内角的比例关系，可以求出三个内角的度数． （3）在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以求出另一个锐角的度数． 【例1】如图，，，，且平分，求的度数． 【答案】 【名师点睛】 （1）三角形内角和定理的证明思路是通过平行线将三角形的内角进行转化，可从构造平角、构造邻补角、构造同旁内角这几方面进行思考． （2）因为三角形内角和为，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角． 二、直角三角形的性质与判定 1．性质：直角三角形的两个锐角互余． 在中，，则． 2．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 在中，，则为直角三角形，且． 3．符号表示：直角三角形可以用符号“”表示，直角三角形可以写成． 【例2】如图，，直线分别交，于点，，与的平分线相交于点，求证：为直角三角形． 【答案】证明详见解析 【名师点睛】三角形中若有两个角互余，即它们的和为，则另一个角一定为角，是直角，从而可确定这个三角形为直角三角形． 三、三角形的外角及其性质 1．三角形的外角 三角形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角． 2．三角形外角的性质 （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角． 【例3】如图，是的外角的平分线，若，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵是的外角的平分线，，∴， ∵，∴． 【名师点睛】 （1）三角形外角的特点：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形内角的一边；③另一条边是该三角形内角的另一边的反向延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，通常只取其中一个，因此，我们常说三角形有三个外角．因为三角形的每个外角同与它相邻的内角是邻补角，所以由三角形的内角和是，可推出三角形的三个外角和是． （3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，因而证明角不相等时，应设法把求证中的大角放在三角形外角的位置上，把小角放在内角的位置上． （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，主要有以下几方面的应用：①已知外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个；②可证一个角等于另两个角的和；③经常利用它证明两个角相等． 1．关于三角形内角的叙述错误的是 A．三角形三个内角的和是180° B．三角形两个内角的和一定大于60° C．三角形中至少有一个角不小于60° D．一个三角形中最大的角所对的边最长 2．下列叙述正确的是 A．钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和 B．三角形两个内角的和一定大于第三个内角 C．三角形中至少有两个锐角 D．三角形中至少有一个锐角 3．在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是 A．150° B．135° C．120° D．100° 4．已知△ABC中，∠A=20°，