课堂探究 1.4.2微积分基本定理 .docVIP

课堂探究 探究一 利用微积分基本定理求简单的定积分 1．微积分基本定理是求定积分的一种基本方法，其关键是求出被积函数的原函数，特别注意y＝eq \f(1,x)的原函数是y＝ln x．基本过程分为两步：①求f(x)的原函数F(x)；②计算F(b)－F(a)的值． 2．求定积分时要注意积分变量，有时在被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量，例如在定积分eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(m,1)(x2－t)dx中，积分变量是x，m和t是常数． 【典型例题1】 计算下列定积分： (1)eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(2,0)xdx； (2)eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(1,－2)(1－t3)dt； (3)eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(2,1)eq \f(1,x)dx； (4)eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(0,)－π(cos x＋ex)dx； (5)eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(－1,－2)(x＋1)2dx； (6)eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(4,3)t2dx. 思路分析：求原函数时要和求导数运算联系起来，充分借助导数公式和导数运算法则． 解：(1)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2))′＝x， ∴eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(2,0)xdx＝eq \f(1,2)x2eq \a\vs4\al(|)eq \o\al(2,0)＝2－0＝2. (2)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)t4))′＝1－t3， ∴eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(1,－2)(1－t3)dt＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)t4))eq \a\vs4\al(|)eq \o\al(1,－2) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2－\f(1,4)?－2?4))＝eq \f(27,4). (3)∵(ln x)′＝eq \f(1,x)， ∴eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(2,1)eq \f(1,x)dx＝ln xeq \a\vs4\al(|)eq \o\al(2,1)＝ln 2－ln 1＝ln 2. (4)∵(sin x＋ex)′＝cos x＋ex， ∴eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(0,－π)(cos x＋ex)dx＝(sin x＋ex)eq \a\vs4\al(|)eq \o\al(0,－π) ＝(0＋1)－(0＋e－π)＝1－e－π. (5)∵(x＋1)2＝x2＋2x＋1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x2＋x))′＝x2＋2x＋1， ∴eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(－1,－2)(x＋1)2dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x2＋x))eq \a\vs4\al(|)eq \o\al(－1,－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq \f(1,3). (6)∵(t2x)′＝t2，∴eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(4,3)t2dx＝t2xeq \a\vs4\al(|)eq \o\al(4,3)＝t2. 探究二 利用微积分基本定理和定积分的性,质求定积分 1．求复杂函数定积分要依据定积分的性质． (1)有限个函数代数和(差)的积分，等于各个函数积分的代数和(差)，即 eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))f1(x)dx±eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))f2(x)dx±…±eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))fn(x)dx. (2)常数因子可提到积分符号外面，即 eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))kf(x)dx＝keq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx. (3)当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号，即eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx＝－eq \a\vs4\al(\i\in(b,a,))f(x)dx. (4)定积分对区间的可加性，若c∈[a，b]，则有 eq \a