课堂探究 1.3.2利用导数研究函数的极值 .docVIP

课堂探究 探究一 利用导数求函数的极值 求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表考查导数为零的点的左右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，不是极值．另外，在求函数的极值前，一定要首先研究函数的定义域，在定义域的前提下研究极值． 【典型例题1】 求下列函数的极值： (1)f(x)＝1＋3x－x3； (2)f(x)＝eq \f(ln x,x2)； (3)f(x)＝x2·e－x. 思路分析：按照求极值的方法，首先从方程f′(x)＝0入手，求出函数f(x)在定义域内所有可解的极值点，然后按极值的定义判断并求值． 解：(1)函数定义域为R，且f′(x)＝3－3x2， 令f′(x)＝0得x＝±1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) －1 3 所以f(x)在x＝－1处取极小值－1， 在x＝1处取极大值3. (2)函数定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝eq \f(?ln x?′·x2－ln x·?x2?′,x4)＝eq \f(x－2xln x,x4)＝eq \f(1－2ln x,x3)， 令f′(x)＝0，得x＝eq \r(e)， 且当0＜x＜eq \r(e)时，f′(x)＞0， 当x＞eq \r(e)时，f′(x)＜0，所以f(x)在x＝eq \r(e)处取得极大值f(eq \r(e))＝eq \f(1,2e)，无极小值． (3)函数f(x)的定义域为R， f′(x)＝2xe－x＋x2e－x(－x)′＝x(2－x)e－x， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 0 4e－2 从表中可以看出， 当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0； 当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝4e－2. 探究二 利用导数求函数的最值 1．如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不间断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，求f(x)在区间[a，b]上的最值可简化过程，即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较大小，即可判定最大(或最小)的函数值，就是最大(或最小)值． 3．求函数在闭区间上的最值时，需要对各个极值与端点函数值进行比较，有时需要作差、作商，有时还要善于估算，甚至有时需要进行分类讨论． 4．求函数在开区间上的最值时，要借助导数分析研究函数的单调性与极值情况，从而画出函数的大致图象，结合图象求出最值． 【典型例题2】 求下列函数的最值： (1)f(x)＝x3－2x2＋1，x∈[－1,2]； (2)f(x)＝sin 2x－x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))； (3)f(x)＝eq \f(ln x,x)－x. 思路分析：按照求函数最值的步骤求解，其中(3)要注意结合函数图象． 解：(1)f′(x)＝3x2－4x， 令f′(x)＝0，有3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝eq \f(4,3). 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －1 (－1,0) 0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))) eq \f(4,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) －2 1 －eq \f(5,27) 1 从上表可知，最大值是f(0)＝f(2)＝1，最小值是f(－1)＝－2. (2)f′(x)＝2cos 2x－1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))， 令f′(x)＝0得x＝－eq \f(π,6)或x＝eq \f(π,6). 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －eq \f(π,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,6))) －eq \f(π,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6))) eq \f(π,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) eq \f(π,2) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) eq \f(π,2) eq \f(π,6)－eq \f(\r(3),2) eq \f(\r(3),2)－eq \f(π,6) －eq