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初中几何常见辅助线做法
三角形常见辅助线做法
方法1:有关三角形中线的题目,常将中线加倍;
含有中点的题目,常常做三角形的中位线,把结论恰当的转移
例1、如图5-1:AD为△ABC的中线,求证:AB+AC>2AD。
【分析】:要证AB+AC>2AD,由图想到: AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以有AB+AC+ BD+CD>AD+AD=2AD,左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
证明:延长AD至E,使DE=AD,连接BE,则AE=2AD
∵AD为△ABC的中线 (已知)
∴BD=CD (中线定义)
在△ACD和△EBD中
∴△ACD≌△EBD (SAS)
∴BE=CA(全等三角形对应边相等)
∵在△ABE中有:AB+BE>AE(三角形两边之和大于第三边)
∴AB+AC>2AD。
例2、如图4-1:AD为△ABC的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE+CF>EF
证明:延长ED至M,使DM=DE,连接 CM,MF。在△BDE和△CDM中,
∵
∴△BDE≌△CDM (SAS)
又∵∠1=∠2,∠3=∠4 (已知)
∠1+∠2+∠3+∠4=180°(平角的定义)
∴∠3+∠2=90°,即:∠EDF=90°
∴∠FDM=∠EDF =90°
在△EDF和△MDF中
∵
∴△EDF≌△MDF (SAS)
∴EF=MF (全等三角形对应边相等)
∵在△CMF中,CF+CM>MF(三角形两边之和大于第三边)
∴BE+CF>EF
【备注】:上题也可加倍FD,证法同上。当涉及到有以线段中点为端点的线段时,可通过延长加倍此线段,构造全等三角形,使题中分散的条件集中。
例3、如图3,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证:∠BGE=∠CHE。
证明:连结BD,并取BD的中点为M,连结ME、MF,
∵ME是ΔBCD的中位线,
∴MECD,∴∠MEF=∠CHE,
∵MF是ΔABD的中位线,
∴MFAB,∴∠MFE=∠BGE,
∵AB=CD,∴ME=MF,∴∠MEF=∠MFE,
从而∠BGE=∠CHE。
方法2:含有角平分线的题目,利用角平分线的性质做垂线,或构造出全等三角形
例4、如图2-1,已知ABAD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证:∠ADC+∠B=180?
分析:可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。
例5、已知:如图3-1,∠BAD=∠DAC,ABAC,CD⊥AD于D,H是BC中点。
求证:DH=(AB-AC)
【分析】:延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证。
例6、已知:如图3-2,AB=AC,∠BAC=90?,BD为∠ABC的平分线,CE⊥BE.
求证:BD=2CE。
【分析】:给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形。
方法3 :证明两条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法
例7、如图2-2,在△ABC中,∠A=90?°,AB=AC,∠ABD=∠CBD。求证:BC=AB+AD
DCBA【分析】:截长法:在BC上取BE=AB,连接DE,证明△
D
C
B
A
则AD=DE=CE,结论可证
补短法:延长BA到F,使BF=BC,连接DF,证明△BCD≌△BFD,
∠F=∠C=45°,AF=AD,结论可证
例8:已知如图6-1:在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任一点。
求证:AB-AC>PB-PC。
【分析】:要证:AB-AC>PB-PC,想到利用三角形三边关系定理证之,因为欲证的是线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC,得AB-AC=BN, 再连接PN,则PC=PN,又在△PNB中,PB-PN<BN,即:AB-AC>PB-PC。
证明:(截长法)
在AB上截取AN=AC连接PN , 在△APN和△APC中
∵
∴△APN≌△APC (SAS)
∴PC=PN (全等三角形对应边相等)
∵在△BPN中,有 PB-PN<BN (三角形两边之差小于第三边)
∴BP-PC<AB-AC
证明:(补短法) 延长AC至M,使AM=AB,连接PM,
在△ABP和△AMP中
∵
∴△ABP≌△AMP (SAS)
∴PB
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