数值分析数值积分与数值微分.pptxVIP

第四章数值积分与数值微分§1引 言一、数值积分的必要性本章主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数? 有解析表达式；? 的原函数 为初等函数．实际问题1. 的原函数 不能用初等函数表示例如函数:考虑一个实际问题:建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似 英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.这个问题就是要求由函数给定的曲线,从 到 英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分。It’s so complex that we can not get it.What’s the Original function?!2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数:并不复杂,但它的原函数却十分复杂:1234544.5688.53. 没有解析表达式，只有数表形式:原来通过原函数来计算积分有它的局限性。那……怎么办呢？呵呵…这就需要积分的数值方法来帮忙啦。二、数值积分的基本思想1、定积分的几何意义2、数值积分的理论依据依据积分中值定理,对于连续函数,在 内存在一点,使得称 为区间 的平均高度.3、求积公式的构造? 若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：? 若取 两点，并令 ，则可得梯形公式（两点求积公式）? 若取三点， 并令则可得Simpson公式(三点求积公式)? 一般地 ，取区间 内 个点处的高度通过加权平均的方法近似地得出平均高度这类求积方法称为机械求积:求积节点 或写成:数值积分公式求积系数 称为数值求积公式称为求积公式余项(误差).记(i) 确定求积系数 和求积节点 三、求积公式的代数精度1、问题的提出构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有:(ii) 判定求积公式精度的衡量标准；(iii)　求积公式的误差估计和收敛性分析.2、定义 称求积公式 具有m次代数精度,如果它满足如下两个条件:(i) 对所有次数≤m次的多项式,有(ii)存在m+1次多项式,使得上述定义中的条件(i),(ii)等价于:§2插值型求积公式一、定义在积分区间 上， 取 个节点作 的 次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:则有其中，为插值余项。称为插值型求积公式由 节点 决定，与 无关。Ak于是有：取二、截断误差与代数精度1、截断误差2、代数精度定理 形如 的求积公式至少有 n 次代数精度 ? 该公式为插值型（即： ）推论求积系数 满足:Cotes系数令§3 Newton-Cotes公式一、Cotes系数取节点为等距分布：由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,此时求积系数：二、Newton-Cotes公式1、定义：记则求积公式变为称上式为n阶闭型Newton-Cotes求积公式。注意:由式确定的Cotes系数只与 和有关, 与 和积分区间无关，且满足:与x有关2、截断误差Newton-Cotes公式的误差为:3、代数精度作为插值型求积公式，阶Newton-Cotes公式至少具有 次代数精度，而实际的代数精度是否可以进一步提高呢？定理当阶数 为偶数时,Newton-Cotes公式至少具有次代数精度。证明:只需验证当 为偶数时,Newton-Cotes公式对的余项为零。由于 ,所以 即得引进变换,因为 为偶数,故 为整数,于是有据此可断定 ,因为上述被积函数是个奇函数.4、数值稳定性现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响.设用公式 近似计算积分时,其中计算函数值 有误差，而计算没有误差,中间计算过程中的舍入误差也不考虑,则在 的计算中,由 引起的误差为如果 都是正数,并设则有故 是有界的,即由 引起的误差受到控制,不超过保证了数值计算的稳定性。的 倍,而当 时,将出现负数,将随 增大,因而不能保证数值稳定性.故高阶公式不宜采用,有实用价值的仅仅是几种低阶的求积公式.三、几种常用的低