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教材回归(五) 以菱形为背景的证明与计算
(教材P60习题18.2第6题)
如图1,AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于点C,BD平分∠ABC,且交AE于点D,连接CD.求证:四边形ABCD是菱形.
证明: ∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠CAD.
又∵AE∥BF,∴∠BCA=∠CAD,
∴∠BAC=∠BCA,
图1
∴AB=BC,
同理可证AB=AD,
∴AD=BC.
又∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴平行四边形ABCD是菱形.
【思想方法】 菱形的判定方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法:①定义;②四边相等;③对角线互相垂直平分.
[2014·淮安]如图2,在三角形ABC中,AD平分∠BAC,将△ABC折叠,使点A与点D重合,展开后折痕分别交AB,AC于点E,F,连接DE,DF.求证:四边形AEDF是菱形.
证明: 由折叠可知AE=ED,AF=DF,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
又∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠3,
图2
变形1答图
∴∠1=∠2=∠3=∠4,
∴AE∥DF,AF∥ED,
∴四边形AEDF为平行四边形,
∴四边形AEDF为菱形.
如图3,在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点,连接AE,BD,且AE=AB.
(1)求证:∠ABE=∠EAD;
(2)若∠AEB=2∠ADB,求证:四边形ABCD是菱形.
图3
证明: (1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠AEB=∠EAD.
又∵AE=AB,
∴∠ABE=∠AEB,
∴∠ABE=∠EAD;
(2)∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC.
又∵∠AEB=2∠ADB,∠AEB=∠ABE,
∴∠ABE=2∠DBC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD.
又∵四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.
已知:如图4,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.
(1)求证:AE=EC;
(2)当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由.
(1)证明:连接AC.
∵BD是菱形ABCD的对角线,
∴BD垂直平分AC,
∴AE=EC;
变形3答图
图4
(2)解:点F是线段BC的中点.
理由:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CB.
又∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°.
∵AE=EC,
∴∠EAC=∠ACE.
∵∠CEF=∠EAC+∠ACE=60°,
如图5,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
图5
(1)证明:∵E是AD的中点,∴AE=DE. ∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE,
∴△AFE≌△DBE,
∴AF=DB.
∵AD是BC边上的中线,∴DB=DC,∴AF=DC;
(2)解:四边形ADCF是菱形.
理由:由(1)知,AF=DC.
∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.
又∵AB⊥AC,∴△ABC是直角三角形.
[2014·贵阳]如图6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AB,AC边上的中点,连接DE,将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,连接AF,CD.
(1)求证:四边形AFCD是菱形;
(2)若BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长.
(1)证明:由旋转可得:AE =CE,DE =FE,
∴四边形AFCD是平行四边形,
∵D,E分别为AB,AC边上的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,
图6
∴∠AED =∠ACB =90°,
即 AC⊥DF,
∴▱AFCD是菱形;
(2)解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=8,AC=6,
由勾股定理得:AB=10,
∵D为AB边上的中点,
[2014·陇南]D,E分别是不等边三角形ABC的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接点D,G,F,E.
(1)如图7,当点O在△ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形;
(2)若四边形DGFE是菱形,则OA与BC应满足怎样的数量关系?(直接写出答案,不需要说明理由)
图7
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