三角函数与解三角形总复习.docx

()()) ( ) ( ) ) 三角函数的化简与求值 [题型分析· 高考展望]　三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力. 运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单 的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记 忆、掌握并能灵活运用. 体验高考 1.(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　) 3 3 1 1 A.－ 2 B. 2 C.－ 2 D. 2 cos α－ 3π 10 π 2.(2015·重庆)若 tan α＝2tan 5，则  sin α－ π 5  等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2016·课标全国甲)若 cos ( π －α 4 3 ＝5，则 sin 2α 等于(　　) 7 1 1 7 A. 25 B. 5 C.－ 5 D.－ 25 3 4.(2016·课标全国丙)若 tan α＝4，则 cos2α＋2sin 2α 等于(　　) 64 48 16 A. 25 B. 25 C.1 D. 25 π π 5.(2016·四川)cos 2 8 －sin 2 8 ＝________. 1 2 222 22 2) 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 高考必会题型 题型一　利用同角三角函数基本关系式化简与求值 sin α 基本公式：sin2α＋cos2α＝1；tan α＝cos α. 基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即 1＝sin α＋cos α；(3)在进行开方运算时，注 意判断符号. 例 1　已知 tan α＝2，求： 4sin α－2cos α (1) 5sin α＋3cos α的值； (2)3sin 2 α＋3sin αcos α－2cos α 的值. 解　(1)方法一　∵tan α＝2，∴cos α≠0， 4sin α － cos α 2cos α cos α 4sin α－2cos α ∴5sin α＋3cos α＝ 5sin α ＋ cos α 3cos α 4tan α－2 4 × 2－2 6 cos α ＝5tan α＋3＝5 × 2＋3＝13. 方法二　由 tan α＝2，得 sin α＝2cos α，代入得 4sin α－2cos α 4 × 2cos α－2cos α 6cos α 6 5sin α＋3cos α＝5 × 2cos α＋3cos α＝13cos α＝ 13 . (2)3sin α＋3sin αcos α－2cos α 3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α  3tan2α＋3tan α－2 ＝ sin2α＋cos2α 3 × 22＋3 × 2－2  16 ＝ tan2α＋1 ＝ 22＋1 ＝ 5 . 点评　本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式.对于这样的多项式一定 可以化成切函数，分式可以分子分母同除“cos α”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”， 然后用 sin α＋cos α 代换“1”，变成分式后再化简. 变式训练 1　已知 sin(3π＋α)＝2sin ( 3π ＋α 2  ，求下列各式的值： sin α－4cos α 5sin α＋2cos α； sin α＋sin 2α. 题型二　利用诱导公式化简与求值 1.六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名 变换，即“函数名称变，符号看象限”. 2 )π)()π) ())3)()))5π＋θ ) π )( ) π ) ( ) ) 3 ) ( ) ) ) 5π ＋θ 2.诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！ 2sin ? π＋α? cos ? π－α? －cos ? π＋α? 例 2　(1)设 f(α)＝  1＋sin2α＋cos ( 3π ＋α －sin2 2 (  2  ＋α sin α ≠ －  )，则 f(  － 23π 6 ＝______. sin (  2  ＋α cos π －α 2  sin  ?  π－α?  cos ( π ＋α 2 (2)化简： cos ? π＋α? ＋ sin ? π＋α? ＝________. 答案　(1) 　(2)0 ? －2sin α?? －cos α? ＋cos α 解析　(1)∵f(α)＝ 1＋sin2α＋sin α－cos2α 2sin αcos α＋cos α cos α? 1＋2sin α? 1 ＝