相似矩阵与二次型.pptxVIP

说明;内积的运算性质;定义2 ;解;１ 正交的概念;证明;例1 已知三维向量空间中两个向量;即;５ 规范正交基;; 同理可知;（1）正交化，取 ，;（2）单位化，取;例２ 用施密特正交化方法，将向量组;再单位化，;例３;再把它们单位化，取;;例４;把基础解系正交化，即合所求．亦即取;证明;;性质 正交变换保持向量的长度不变．;解;所以它是正交矩阵．;例６;1．将一组基规范正交化的方法： 　 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将 其单位化．;求一单位向量，使它与;思考题解答;说明;;;解;;??２ ;;;例３ 设;;得基础解系为：;例４ 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 　的特征向量，则;;证明;把上列各式合写成矩阵形式，得;注意;;例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为;求矩阵特征值与特征向量的步骤：;思考题;思考题解答;相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念;1. 等价关系;证明;推论 若 阶方阵A与对角阵;利用对角矩阵计算矩阵多项式;　　利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 .;定理;证明;;命题得证.;说明;例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？;解之得基础解系;求得基础解系;解之得基础解系;A能否对角化？若能对角;解之得基础解系;所以 可对角化.;注意;四、小结;２．相似变换与相似变换矩阵;思考题;思考题解答;;定理1　对称矩阵的特征值为实数.;于是有;定理1的意义;证明;证明;由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，;　　根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：;解;解之得基础解系 ;解之得基础解系;;;;于是得正交阵;1.　对称矩阵的性质：;思考题;思考题解答;二次型一、二次型及其标准形的概念;只含有平方项的二次型;1．用和号表示;2．用矩阵表示;;三、二次型的矩阵及秩;解;设;证明;说明;;用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;解;从而得特征值;4．将正交向量组单位化，得正交矩阵;于是所求正交变换为;解;;;;;五、小结