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数列中的裂项法求和举例
杨恒运
江苏省扬中高级中学 (212200)
数列中的求和问题是一个基本问题,应该根据通项公式的形式确定用什么方法求数列的前 n项和。裂项法求和的是数列求和中一种常用方法,应用非常广泛,下面就举例说明之。
1. 求通项公式
例1 已知数列{}满足:
是首项为1公比为的等比数列,求通项
由于很容易求出通项
2. 求等差数列前 n项和
例2 在数列中,若
学生在求和中,数列中的基本元素及求和公式都会搞错,若用裂项法就很容易求出其前n项和
略解:显然
3.求等比数列前n项和
对于等比数列前n项和的推导及记忆应用都是一个难点,若用裂项法的思想,就可以化繁为简
例3 在数列中,若
4.求通项是等差数列与等比数列对应项乘积的数列的前n项和
对这种数列的前n项和问题更是一个难点,求和的方法是错位相减法,即使学生记得此方法,但运算正确的也很少,若用裂项法,则运算很简捷。
例4 在数列中,若,求数列前n项和。
例5 在数列中,若 , 求数列前n项和
由此很容易求出此数列的前n项和。
5.求有关二项式系数的和
例6 化简
若利用组合数性质,则有
原式=
6.求通项是分式形式的数列前n项和
例7 在数列中 ,若 设正项数列满足
求证:
证明:当时不等式显然成立。当时
两式相减得:
则 原式左边=
所以不等式成立。
7.通项是多项式形式的数列的求和
例8 求数列的前n项和
由上式不难得到
类比可求得的前n项和
8.求通项是三角形式的数列前n项和
例9 在数列{}中,求前n项和
裂项法在其它形式的数列求和中均有广泛应用,在此不一一举例。裂项法求和关键
在于拆项、消项。因而具有较强的技巧。在平时的解题训练中不应生搬硬套,过于追求
巧,而应灵活应用。
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