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浅谈初中数学教学中分类讨论思想的渗透 四川省峨边民族中学 孙容 分类讨论思想是重要的数学思想方法之一，在我们的初中数学教材中，很多定义，概念，性质，定理及问题的解答都广泛涉及分类讨论思想。同时也是近些年中考数学命题的热点问题，突出考查学生思维的严谨性和周密性，对学生分析问题和解决问题的能力要求都很高。这就要求我们教师在平时的教学中充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想方法，结合教学目标，按照学生认知发展规律，有目的、有意识地渗透分类讨论思想，让学生经历渗透、反复、逐级递进、螺旋上升、不断深化的过程，培养学生全面观察问题、灵活处理问题的能力，从而培养学生形成良好的数学思维。下面结合一些例题的解答谈谈自己粗浅的看法： 例1、已知|a|=|b|,则（ ） A. a = b B. a =﹣b C. a = ±b D. 以上答案都不对 此题考查学生对绝对值概念的理解与掌握，绝对值的概念本身就包含了分类的思想，所以当遇到绝对值符号里面有字母参与运算时，就要注意是否需要分类讨论。 例2、已知a(a-3)=1，则a= __________。 此题考查学生对幂指数的认识与掌握，要使得一个底数和指数都含有字母的指数幂等于1，需要从它底数的特殊取值和指数的特殊取值两个方面来考虑。当底数a的值等于±1时，指数（a-3）都为偶数，则a(a-3)=1;当指数（a-3）=0时，底数a=3≠0，则a(a-3)=1。综上可知，a的值为±1或3。 例3、 已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长。 此题结合线段中点的概念考查学生线段和差的计算，解答此题需要分点C在线段AB上和点C在线段AB的延长线上两种情况进行讨论。做完后还可引导学生思考，若AB=2cm呢？再继续若AB=m, BC=n呢？ 例4、已知x,y是直角三角形两边的长，且满足| x2-4|+| y2-5y+6|=0，则第三边长为__________。 此题中直角三角形的直角边和斜边不明确，需要分类讨论。由题意可知x=2,y=2;或x=2,y=3, 所以分当两直角边为2,2时；当两直角边为2,3时；当一直角边为2，斜边为3时三种情况进行讨论，求第三边长。 例5、在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2 =BD·BC，求∠BCA的度数。 因未指明三角形的形状，故需分类讨论。 当△ABC的高在形内时，由AD2 =BD·BC得△ABD∽△CAD，进而可以证明△ABC为直角三角形。由 ∠B＝25°，可知∠BAD＝65°。所以∠BCA＝∠BAD＝65°。当高AD在形外时，△ABC为钝角三角形，由AD2 =BD·BC得△ABD∽△CAD 所以∠B＝∠CAD＝25° ∴∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°。三角形的高线因三角形的形状不同它所在的位置不同，所以在遇到和三角形的高线有关的问题时，要注意三角形的形状是否确定。 例6、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2 QUOTE ，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）． （1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值； （2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围； （3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 此题考查学生对相似三角形的判定与性质，根据实际问题列二次函数关系式，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识的综合掌握。 问题2是中考中的动态热点问题，在动态问题中，随着点，线或图形的运动变化而产生的系列问题，几乎都和分类讨论思想有关。本题需按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四种情况，分别写出函数关系式； 当0≤t＜1时，S=2 QUOTE t+4 QUOTE ； 当1≤t＜3时，S=﹣ QUOTE t2+3 QUOTE t+ QUOTE ； 当3≤t＜4时，S=﹣4 QUOTE t+20 QUOTE ； 当4≤t＜6时，S= QUOTE t2﹣12 QUOTE t+36