线性方程组的解的判定.pptxVIP

()=RAn,AnD,设则在中应有一个阶非零子式n()Dn,所对应的个方程只有零解根据克拉默定理n一、线性方程组有解的判定条件问题：证必要性.从而()=RArn,设-nr.从而知其有个自由未知量 .即可得方程组的一个非零解()RAn.即这与原方程组有非零解相矛盾，充分性.任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，()()=RARB.因此,设方程组有解必要性．证()()=RARB,设()()()==￡RARBrrn,设 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,其余 个作为自由未知量,并令 个自由未知量全取0，-nr充分性.即可得方程组的一个解．证毕()()===RARBnAxb有唯一解()()==RARBnAxb有无穷多解.小结??齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；二、线性方程组的解法例1 求解齐次线性方程组解即得与原方程组同解的方程组由此即得例２ 求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解．例３ 求解非齐次方程组的通解解 对增广矩阵B进行初等变换故方程组有解，且有所以方程组的通解为例４ 解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为由于原方程组等价于方程组由此得通解：证：设对X、B按列分块，得例５ 设有线性方程组解其通解为这时又分两种情形：()()==RARBn()()==RARBnAxb有无穷多解.三、小结齐次线性方程组非齐次线性方程组???思考题思考题解答解故原方程组的通解为若则存在可逆矩阵(2)设矩阵使得即矩阵A可以经过初等变换化为 形式。(3)若都可逆，则有关矩阵秩的重要结论：证：设因为A的最高阶非零子式也是 的非零子式，所以2. 矩阵秩的不等式的证明证：设又综上，证：设