全等三角形综合题较难（教师版）.doc

中国领先的中小学教育品牌 精锐教育网站： PAGE 1 精锐教育·教学管理部 精锐教育学科教师辅导讲义 年 级：初一 课时数：3 学科教师：王贵生 课 题 能力提高训练1――全等三角形 教学目标 熟练运用全等三角形的性质和判定解决难题。 教学内容 【典例精讲】 题型一、探究型 例1、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE (3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明。 分析：（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD． （2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE-CD=AD-BE． （3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE-AD．证明的方法与（2）相同． 点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质。 【我来试一试】 练习1：如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE，AB=BC． (1)求证：AD=CE，AD⊥CE (2)若△DBE绕点B旋转到△ABC外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立?请证明。 题型二、实际应用型 例2、（2010青海西宁）八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案： （Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线. （Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线. （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由. （2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由. 【答案】解：（1）方案（Ⅰ）不可行.缺少证明三角形全等的条件. ……………………………2分 （2）方案（Ⅱ）可行. ……………………………3分 证明：在△OPM和△OPN中 ∴△OPM≌△OPN(SSS) ∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等) ……………………………5分 （3）当∠AOB是直角时，此方案可行. ……………………………6分 ∵四边形内角和为360°，又若PM⊥OA,PN⊥OB, ∠OMP=∠ONP=90°, ∠MPN=90°, ∴∠AOB=90° ∵若PM⊥OA,PN⊥OB, 且PM=PN ∴OP为∠AOB的平分线.(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上) 当∠AOB不为直角时，此方案不可行. …………8分 点评：本题重在考查三角形全等的条件，这是一个很实际的问题，要具备把实际问题转化为数学问题的能力． 【我来试一试】 练习2：（2008山东泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结． 图1 图1 图2 D C E A B （第22题） （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：． 分析：（1）此题根据△ABC与△AED均为等腰直角三角形，容易得到全等条件证明△ABE≌△ACD； （2）根据（1）的结论和已知条件可以证明DC⊥BE． 点评：此题是一个实际应用问题，利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题，关键是理解题意，得到所需要的已知条件． 题型三、几何证明型 例3、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD 分析：在AC上作CF等于CD，连接FO。因为由题意得，∠D