线性系统理论 26 稳定性分析.pptxVIP

第2章 线性系统理论主要内容2.1　基本概念2.2　状态空间表达式的建立2.3　线性变换2.4　运动分析2.5　综合问题2.6　状态重构与状态观测器2.7　最优控制2.4　运动分析2.4 运动分析2.4.1　定量分析2.4.2　定性分析2.4 运动分析2.4.2　定性分析—系统运动的稳定性一、李雅普诺夫关于稳定性的定义二、李雅普诺夫第一法三、李雅普诺夫第二法设方程式(1)在给定初始条件 下，有唯一解：式中， 为表示 在初始时刻 时的状态； 是从（1）（2） 式中， 为 维状态矢量； 为与 同维的矢量函数，它是x的各元素 和时间 的函数。一般地，为时变的非线性函数。如果不显含 ，则为定常的非线性系统。一、李雅普诺夫关于稳定性的定义2.4 运动分析1、系统状态的运动及平衡状态设所研究系统的齐次状态方程为 若系统式(1)存在状态矢量 ，对所有 ，都使：成立，则称 为系统的平衡状态。 式(2)实际上描述了系统式(1)在n 维状态空间中从初始条件 出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。 当A为非奇异矩阵时，满足 的解 是系统唯一存在的一个平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。（3）（4）2.4 运动分析开始观察的时间变量。 对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的，例如对线性定常系统：就有三个平衡状态： 由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其 移到坐标原点处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。2.4 运动分析 对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所确定的常值解．例加系系统： 若用 表示状态矢量 与平衡状态 的距离，用点集 表示以 为中心 为半径的超球体，那么 ，则表示：式中， 为欧几里德范数。 当 很小时，则称 为 的邻域。因此，若有 ，则意味着 同理，若方程式(1)的解 位于球域 内，便有：（5）（6）2.4 运动分析在n维状态空间中，有： 式(7)表明齐次方程式(1)内初态 或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义以下几种情况。（7）2.4 运动分析2.4 运动分析2、稳定性的几个定义1) 平衡状态:如果对于所有t，满足 的状态 称为平衡状态（平衡点）。 （1）只有状态稳定，输出必然稳定； （2）稳定性与输入无关。 平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知状态方程，令 所求得的解 x ,便是平衡状态。2) 李雅普诺夫稳定性定义： 如果对于任意小的? 0，均存在一个 ，当初始状态满足 时，系统运动轨迹满足lim ，则称该平衡状态xe 是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。 表示状态空间中x0点至xe点之间的距离，其数学表达式为：3) 一致稳定性： 通常δ与?、t0 都有关。如果δ与t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的δ与t0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。 2.4 运动分析4）渐近稳定性： 系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有： 称此平衡状态是渐近稳定的。 5）大范围稳定性： 当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。 此时 。 6）不稳定性 ： 不论δ取得得多么小，只要在 内有一条从x0 出发的轨迹跨出 ，则称此平衡状态是不稳定的。 注意：按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时则认为是稳定的，同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。稳定性定义的平面几何表示 2.4 运动分析 设系统初始状态 x0 位于平衡状态 xe 为球心、半径为δ的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解在的过程中，都位于以 xe 为球心，半径为ε的闭球域