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第2章 光波导的理论基础;2.5 折射率突变波导的基本解 ;2.1 光波导种类 ;;2.1.2 按折射率分布分 ;1、折射率突变波导：折射率突变波导指光波导各个区的光学性质是均匀的，只在各层交界面处发生光学性质突变。图2.2 a)当中，在;要点与习题;第2章 光波导的理论基础;2.2 光波导的射线光学理论;2.2.1 平面（板）波导简介;长春理工大学;2.2.2 射线光学模型;2.2.3 光入射到介质界面处的基本定律 ; (2.2-2);利用Snell’s law，可以将上面的四个表达式改写为 ;对于TE模，其电场垂直于波阵面法线和分界面法线构成的入射面，相当于S波；对于TM模，其电场平行于波阵面法线和分界面法线构成的入射面，相当于P波。;3、全反射（Total reflection）。;2.2.4 全反射时的相移 ;图2.6示出了;长春理工大学;2.2.5 平面波导的导模 ;由此，薄膜中的波动场空间部分可写为： ;在衬底层和覆盖层处发生全反射的临界角分别满足;当;式(2.2-25)和(2.2-26)称为模式本征方程。;则(2.2-27)式可以改写为 ;下面对TE/TM模的模式本征方程进行讨论：; ，考虑全反射时有：;利用式(2.2-34)，可将式(2.2-31)和(2.2-32)表示的TE模和TM模的模式本征方程改写为 ;2.2.6 模式本征方程的图解 ;长春理工大学;即光在波导层中的横向穿越相移;截止条件 ;光波导的归一化有效折射率表示为;而TM模的模式本征方程（2.2-37）可改写为 ;TE模和TM模的色散曲线如图2.10所示。由图可以看出，对于同一个归一化频率，TE模的归一化有效折射率略大于TM模的归一化有效折射率。;2.2.7 应用实例;1、从波导层厚度h的任一给定值上画一水平线，此水平线与模式曲线的交点给出模折射率N和入射角θi的值。可以看到m=0的模式具有最大的N和θi，而对较高模序的模式来说，N和θi的数值较小。 ;4、在N=n2处，θi=θSC，这就是薄膜－衬底分界面上的全反射临界角。当θi小于此临界角时，所有的导模都截止。;要点与习题;第2章 光波导的理论基础;2.3古斯-汉欣线移和有效厚度原理 ;2.3.1古斯-汉欣线移;因此，得到 ;光从波导层到衬底层产生的横向位移为;2.3.2　有效厚度 ;同理，从波导层到衬底层的透射波分量;要点与习题 ;第2章 光波导的理论基础;2.4 光波导的电磁理论 ;2.4.1 电磁过程的基本方程 ;对于有源场，其边界条件为：;对于无源场，其边界条件为：;2、波动方程（Wave equation）;同理可以得到 ;上两式可以写为;3、亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）;2.4.2 平面波导中的亥姆霍兹方程;代入Helmholtz方程得：;即， ，积分可以求得;3、平面波导中亥姆霍兹方程。根据式(2.4-3)，无源场微分形式的麦氏方程为 ;将(2.4-32)代入(2.4-29)，再代入(2.4-27)；(2.4-31)代入(2.4-30)，再代入(2.4-28)，得;整理后，可得到两组独立的方程;式(2.4-37) 中含 ，称为TE波。 ;将TE波和TM波方程组的前两式代入第三式当中，就可以求得TE模中的 和TM模中的 所满足的方程。下面以TE波为例来求解 所满足的方程。;将以上两式得到的 代入(2.4-37)第三式得;则式(2.4-42)可以改写为;4、平面波导中模式的定性讨论。波导的亥姆霍兹方程是二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程为：;当 时，特征方程有复根。;以TE波为例，讨论式(2.4-45)，由于在波导的不同区域有着不同的折射率，根据传播常数的不同取值范围，使得方程(2.4-45)具有不同形式的解：;2）当 时，在覆盖层和衬底层中， 的解为式(2.4-50)，即指数形式。而在波导层中， 的解为式(2.4-53)，即简谐形式。;4）当 时，在覆盖层、波导层和衬底层中， 的解均为式(2.4-53)，即简谐形式。;导波模式;要点与习题;2.5 折射率突变光波导的基本解 ;2.5 折射率突变光波导的基本解 ;2.5.1 TE导模的场分布;于是，B，C，D都可用A表示。因此，电场分布可写成如下形式：;A可以通过对场的功率的归一化消去。;2.5.2 模式本征方程;讨论;5