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数学建模与模拟 题 姓 班 学  目： 名： 级： 号：  工厂生产利润最大化问题 班内序号： 日  期： 工厂生产利润最大化问题 摘要 本文以工厂生产 A,B 两个零件为背景，对生产方案进行了数学建模，利用 线性规划法寻找最优生产方案，期望达到最大利润。 问题 1 中，以 A,B 的生产数量作为自变量，在生产原料和资金的双重限制 下，建立了线性规划方程组，并在目标函数为 Max z = 30 x1 + 20 x2 的情况下得 到全局最优解：公司每周应生产 A 零件 525 个，B 零件 225 个，此时公司获得 最大利润为 20250 元。 问题 2 中，在模型假设的情况下，公司是否签订合同只与合同的期限有关。 只要工厂能以问题 1 解出的最优生产方案生产并在合同到期前达成任务要求， 即可签订合同。以合同期限为自变量，在合同要求的供应量限制下，解出合同 期限大于 7 个工作日时即可签订合同 问题 3 中，需要考虑多购入的钢材是否可以使利润增大并且大于购入成本。 同时还要考虑多购入的钢材的消耗速度。基于对问题 1 所建立的模型，我们得 出额外的钢材会在 12 周后全部使用，而购入这批钢材多获取的利润高达 24840 元，远大于购入成本。所以我认为工厂应该购买这批钢材。 关键字：线性规划 Matlab 原料限制 资金限制 一、问题的重述 一个零件厂生产两种类型的零件 A 和 B。生产 100 个 A 零件需要 100 千克 钢材和 5 千克铁，生产 100 个 B 零件要 60 千克钢材和 2.5 千克铁。每种类型的 零件加工需要 10 元劳动成本。该厂商每周有 660 千克钢材、7500 元资金和 300 千克铁。厂营销部预计每个 A 零件利润为 30 元，每个 B 零件利润为 20 元。 问题 1. 为了极大化利润，公司每周应生产两种零件各多少？ 问题 2. 若该厂商有机会与一家零件销售商签订一份订货合同，向其提供至 少 500 个 A 零件和至少 300 个 B 零件。该厂商是否应该签订该合同？请给出支 持你的建议的理由。 问题 3. 若该厂商能够以 50 美元总价额外购得 1000 千克钢材，他是否应购 买这些钢材？请给出支持你的建议的理由。 二、符号说明 符号 单位 含义 x 1 个 零件 A 的产量 x 2 个 零件 B 的产量 z 元 工厂的利润 1 212 1 2 1 2 1 2 T 工作日 合同中对供货时间的限制 t 工作日 工厂工作的总时间 t’ 周 工厂耗尽额外钢材需要的时间 三、模型分析 模型假设：（1）生产的零件可以全部售出 不考虑对多余原料的处理 不考虑原料的贮存成本 针对问题 1：由题目可知以下 2 点 （1）生产受到原料的限制：钢材不超过 660 千克，铁不超过 300 千克。 （2）生产受到资金的限制：花费资金不超过 7500 元。 所以通过建立模型，我们要确定使产品销售利润最大时的生产方案。 针对问题 2：若问题一解出的生产方案为工厂将全部原料用于生产一种零件， 那么工厂不应签署这份合同；否则，工厂可以考虑是否要签署这份合同。这时， 由原料资金的限制可知工厂一周内无法达到合同中的供应需求，所以是否签订 该份合同只取决于合同中的时间限制。假设工厂以问题一中解出的生产方案进 行生产，我们只需知道工厂达到供应需求所需的最短时间。为方便计算追加模 型假设：工厂只在工作日生产，且每天的产量相同。 针对问题 3：若购买这些钢材，那么由于原料的增多，直至额外获取的钢 材 耗尽，生产方案也会发生相应的改变。所以只需确定在工厂耗尽额外获 取钢材 的这段时间内多得到的利润与购买钢材的成本之间的大小关系，就 可以得 知是否需要购进这批钢材。为方便计算追加模型假设：购进钢材的 资金全部 出自第一周，美元对人民币的汇率为 1 美元=6.25 人民币。 四、模型建立 针对问题 1： 决策变量：零件 A、B 的产量 x1、x2。 目标函数：Max z = 30 x1 + 20 x2。 （3）约束条件：原料限制 { ?? + 0.6?? ≤ 660 0.05?? + 0.025?? ≤ 300 资金限制：  10  (  ??1 + ??2)  ≤ 7500 针对问题 2：  正值整数约束：  ?? , ?? ∈  N 12121 2 1 2 1 2 1 2 决策变量：工厂工作的总时间 t。 目标函数：Min T = t。 约束条件：由问题 1 可知，工厂每天的产量为零件 A 105 个，零件 B 45 个 供应限制 { 105t ≥ 500 45?? ≥ 300 正值整数约束:  t  ∈ ?? 针对问题 3： 基于问题 1 的模型排除第一周的特殊情况，可计算出在增加 1000 千克钢材