不等式恒成立问题的解法.ppt

数学解题绝招 1 一、方法引入： １.数形结合法 : (1）若f(x)=ax+b,x ∈[α,β]，则： f(x)0恒成立 f(x)0恒成立 数学解题绝招 2 （2）ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是： ______________________。 同理， ax2+bx+c0在R上恒成立的充要条件是： ______________________。 数学解题绝招 3 数学解题绝招 4 2.分离系数法： 把所给不等式中的参数a分离出来放在不等式一边，其余项放在另一边构成函数f(x),利用 ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________; ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：____________ 的思想，去解不等式的方法。 二、典型例题： 例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ； （2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 . 解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ； (1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+ 3 0 △=(m-1)2-12(I-m)0 ， 解得: -11m1； 数学解题绝招 5 则 g(m)0恒成立 例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ； （2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 . 数学解题绝招 6 练习1: 对于一切 |p| ≤2，p∈R，不等式x2+px+12x+p 恒成立，则实数x的取值范围是： —————————— （-∞，-1）∪（3，+∞） 小结： 1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。 数学解题绝招 7 例2、①若不等式x2 logax对x （0, ）恒成立，则实数a的 取值范围是 ————————. ②若不等式x2-kx+20,对x [-3,3]恒成立，则实数k 的取值范围是 —————————— . 在同一坐标系下作它们 的图象如右图: 数学解题绝招 8 y=kx ②解：原不等式可化为：x2+2kx 在同一坐标系下作它们的图 象如右图: 数学解题绝招 9 小结: 3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数 图象的关系再处理。 [2，+∞） 数学解题绝招 10 又 令1+2t=m（m 1），则 数学解题绝招 11 小结： 4、 使用分离参数法，将问题转化为ａ≥f(x) （或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求 函数最值的方法，使 问题获解。 数学解题绝招 12 注意：ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________; ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_____________。 ａ≥[f (x)] max ａ≤[f (x)] min 例４、已知a0，函数f (x)=ax-bx2， （1）当b1，证明对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件是: b-1≤a≤2 ； （2）当0b≤1时,讨论:对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件。 数学解题绝招 13 又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立 数学解题绝招 14 (2) 0b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立 故 （*）式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1 ∴ x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1 又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立 ∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 ＜a≤ b+1 又 a0 数学解题绝招 15 三、方法小结： 2、对于f(x)≥g(x)型问题， 或利用数形结合思想转化为函数图象的关系处理； 或利用分离参数法，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f