高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全).pdfVIP

专题 08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1．【陕西省榆林市第二中学 2018 届高三上学期期中】 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， 离心率为 ；圆 过椭圆 的三个顶点 . 过点 且斜率不为 0 的直线与椭圆交于 两点 . （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）证明：在轴上存在定点 ，使得 为定值；并求出该定点的坐标 . 【答案】（1） （2 ） 【解析】试题分析： （Ⅰ）设圆 过椭圆的上、 下、右三个顶点， 可求得 ，再根据椭圆的离心率求得 ， 可得椭圆的方程； （Ⅱ）设直线的方程为 ，将方程与椭圆方程联立求得 两点的坐标，计算得 。 设 x 轴 上 的 定 点 为 ， 可 得 ，由定值可得需满足 ，解得 可得定点坐标。 解得 。 ∴椭圆的标准方程为 . （Ⅱ）证明： 由题意设直线的方程为 ， 由 消去 y 整理得 ， 设 ， ， 1 要使其为定值，需满足 ， 解得 . 故定点 的坐标为 . 点睛：解析几何中定点问题的常见解法 (1) 假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个 关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2) 从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 2 ．【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】 已知斜率为 k 的直线 l 经过点 1,0 与抛物 2 1 线 C : y 2 px （p 0, p 为常数）交于不同的两点 M , N ，当 k 时，弦 MN 的长为 4 15 . 2 （1）求抛物线 C 的标准方程； （2 ）过点 M 的直线交抛物线于另一点 Q ，且直线 MQ 经过点 B 1, 1 ，判断直线 NQ 是否过定点？若过 定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由 . 2 【答案】（1） y 4x ; （2 ）直线 NQ 过定点 1, 4 【解析】试题分析： （1）根据弦长公式即可求出答案； 2 2 2 2 （2 ）由（ 1）可设 M t ,2 t , N t1 ,2t 1 , Q t2 ,2t 2 ，则 kMN ， t t1 则 MN : 2x t t1 y 2tt 1 0 ； 同理： MQ : 2x t t2 y 2tt 2 0 NQ : 2x t t y 2t t 0 . 1 2