船舶结构力学 第七章薄板的弯曲理论.ppt

§7-3 薄板小挠度弯曲理论 薄板的挠曲面微分方程式为： 自由支持和刚性固定有如下边界条件形式： （7-37） 若把Dw看作未知函数，显然可见，Dw的微分方程式及边界条件都不含泊松系数，因而 Dw的解答不会包含泊松系数，于是 §7-3 薄板小挠度弯曲理论 不随泊松系数的变化而变化。 根据式（7-32），当泊松系数为μ时 当泊松系数为μ‘时 （a） （b） §7-3 薄板小挠度弯曲理论 由式（a）解出 。 代入式（b） （7-58） 由此可见，利用数值表算出泊松系数为μ的弯矩Mx及My，就很容易求得泊松系数为μ’的Mx’和My’。 §7-3 薄板小挠度弯曲理论 注意，如果薄板具有自由边，由于自由边的边界条件方程式中包含有泊松系数，因而Dw的解答将随泊松系数的变化而变化 挠度转换很简单，因为对于具有自由支持边及刚性固定边的矩形板，其挠度与板的弯曲刚度成反比，所以有： （7-59） §7-4 矩形薄板小挠度弯曲问题的解法 4.能量解法 本节介绍利用李慈法计算原理求解薄板小挠度弯曲问题。 首先导出板弯曲应变能的计算公式。在薄板小挠度弯曲问题中，按基本假定是不计应变分量?z、?zx 、?yz的，于是板的弯曲应变能为： 将式（7-28）、（7-31）代入上式，再对z从-t/2到t/2进行积分，并注意到式(7-7),即得： §7-4 矩形薄板小挠度弯曲问题的解法 《弹性力学》中给出了证明，对于只具有自由支持和刚性固定而没有自由边的矩形板，上式等号右边的第二个积分项为零，这点在《弹性力学》中给出了具体的证明。因此对于这种矩形板，应变能计算公式可简化为： （7-60a） （7-60b） §7-4 矩形薄板小挠度弯曲问题的解法 在薄板小挠度弯曲问题中，外力的力函数可写为： 如果外力是作用于点（ξ，η）在薄板小挠度弯曲问题中，外力的力函数可写为： 薄板弯曲总位能表达式为: 选择一个级数表示板的挠曲面函数: （7-61） （7-62） （7-63） （7-64） §7-4 矩形薄板小挠度弯曲问题的解法 式中，φ(x)ψ(y)——满足相应板的边界条件的基函数（形状函数）；Amn——待定常系数。将上式代入到应变能函数和力函数的表示式中，由式（7-36）便得出用待定常系数Amn和外力表示的总位能Π。由最小位能原理可得到方程组： 由此解出Amn代入式（7-64）后，即得板的挠曲面函数。 李慈法的优点在于，不需要求解挠曲面微分方程式，就能较方便地得到问题的近似解答。这种解法的关键在于选择恰当的基函数。基函数选择的恰当如否直接影响结果的精度。 （7-65） §7-4 矩形薄板小挠度弯曲问题的解法 例7：试用李慈法求四边自由支持方板的最大挠度，方板承受三棱柱性横向载荷作用（图7-17）。 q0 a a x y o §7-4 矩形薄板小挠度弯曲问题的解法 该板的位移边界条件是： 解： 此外，该板及所受载荷都对称于x=a/2、y=a/2两轴线。所以挠曲面函数对这两轴线也是对称的。这样可选取挠曲面函数 ： §7-4 矩形薄板小挠度弯曲问题的解法 显然级数的每一项都满足上述位移边界条件，且对于上述两轴线也是对称的。同时，级数还满足全部静力边界条件： 应用李慈法时，虽然只要求所选的挠曲面表达式满足位移边界条件，而不一定要满足静力边界条件，但是如果能满足一部分或全部静力边界条件，往往可以提高计算结果的精度，或者说，只取级数的前几项就能得到比较精确的解答。 §7-4 矩形薄板小挠度弯曲问题的解法 横向载荷的表示式： 由于挠度和载荷都对称于x=a/2的轴线，故外力的力函数为： §7-4 矩形薄板小挠度弯曲问题的解法 对于本例中的板，没有自由边而只有自由支持边，所以可应用简化的应变能计算公式(7-60b)来计算应变能。 §7-4 矩形薄板小挠度弯曲问题的解法 由式(7-65)得： 即有： 从而得： §7-4 矩形薄板小挠度弯曲问题的解法 最大挠度发生在x=y=a/2处，将此x,y值代入上式，得 取级数的前三项（m=n=1;m=1,n=3;m=3,n=1）得： 上述结果与精确解，相差甚小。本例说明，只要选用了恰当的基函数。由李慈法可得精度很高的近似解答。 §7-4 矩形薄板小挠度弯曲问题的解法 例8：一对边自由支持，另一对边是刚性固定和自由边的矩形板，受均匀分布载荷q0作用（图7-18）试用李慈法求该板的挠曲面函数w(x,y)及当b=a,μ=0.3