高数竞赛培训.pptxVIP

一、 求极限问题1、函数极限◆ L-Hospital 法则◆ 等价无穷小替换及Taylor公式◆ 两个重要极限◆ 其它：利用导数的定义、微分中值定理等2、数列极限◆ Heine原理-将数列极限转换为函数极限◆ 极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理◆ 利用定积分的概念◆ 利用收敛级数的性质1、函数极限◆ L-Hospital 法则取对数●再次使用洛必达法则是求不定型的一种有效方法,但要注意：1、求极限过程中，若某个因子的极限已知， 则可先提出已知极限；2、求极限过程中，可以与其他方法如等价无穷小 替换、Taylor公式结合使用，效果更好，但小心 使用；3、求极限过程中，可连续使用洛必达法则， 直至求出不定型的极限；4、后面将有例题说明在求不定型过程中，不是 必须使用洛必达法则才行。●●先取对数故原式◆ 等价无穷小替换及Taylor公式常用的带Peano型余项Taylor公式常见的等价无穷小替换难点：Taylor公式展开的阶数与等价无穷小替换的条件●●原式掌握等价无穷小替换与Taylor公式的使用●另一方面原式●原式●提示：◆ 两个重要极限●提示：注意到 原式◆ 其它：利用导数的定义、微分中值定理等●●●分析：利用重要极限可知●利用Lagrange中值定理知故原式2、数列极限◆ Heine原理-将数列极限转换为函数极限◆ 极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理◆ 利用定积分的概念◆ 利用收敛级数的性质◆ Heine原理●故原式●先取对数洛必达法则故原式讨论数列 的敛散性，并且如果收敛的话，求极限值 (1)设(2)设◆ 极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理●分析: (1)由数学归纳法知且极限值是方程 的正根由此可见 和 都存在，分析: (2)根据单调有界原理知数列 有极限，不妨设●◆ 利用定积分的概念特别地●●由夹逼定理得●由Stolz定理的推论◆ 利用收敛级数的性质级数收敛的必要条件:●提示：考虑级数利用比值判别法可知该级数收敛（3）现要设计一个容积为 的一个圆柱体的容器。已知上下 两底的材料费为单位面积 元，而侧面的材料费为单位 面积 元。试给出最节省的设计方案：即高与上下底的 直径之比为何值时所需费用最少。首届全国大学生数学竞赛决赛试题一、计算下列各题（共20分，每题各5分，要求写出重要步骤）二、（10分）求下列极限法一：法二：先取对数洛必达法则故原式自测题●●●●●二、 (偏)导数、高阶(偏)导数的计算1、分段点或特殊点处求导：直接利用定义2、复合函数的链式求导法则3、隐函数的求导法则 对数求导法4、由参数方程确定的函数的求导法则5、高阶导数的计算(一元函数)6、变限积分函数的求导1、分段点或特殊点处求导：直接利用定义●●●2、复合函数的链式求导法则●因此:特别注意下面二者的区别变量树图变量树图uv 变量树图设函数 z = f (x, y) 在点(1,1)处可微,且●求由题设●偏导数对复合结构具有”遗传性”.●令复合3、隐函数的求导法则 对数求导法设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程●解法1、公式法解法2 、两边求导法 解得同理可得故解法3：利用全微分形式的不变性注、公式法：●证明：●两边取对数4、由参数方程确定的函数的求导法则●5、高阶导数的计算(一元函数)◆ 利用Leibniz 公式●◆ 根据已知函数的高阶导数公式，通过恒等变形、四则运算等方法，求出高阶导数常用高阶导数公式●◆ 利用Taylor 级数●6、变限积分函数的求导●●自测题●●●●三、 (偏)导数的应用1、一元函数导数的应用◆ 函数单调性的判别法◆ 函数的极值与最值◆ 不等式的证明◆ 确定方程实根的个数2、多元函数偏导数的应用● 数列的值最小的项的项数________.且该项的数值为 .◆ 函数单调性的判别法提示：● 设 _______.，则 提示: ● 设函数满足方程求函数的极大值和极小值.提示: 先通过代换 代入原方程得到◆ 函数的极值与最值得到关于的线性方程组解得再根据极值的第二充分条件解得再根据极值的第二充分条件极小值极大值 现要设计一个容积为 的一个圆柱体的容器。已知上下 两底的材料费为单位面积 元，而侧面的材料费为单位 面积 元。试给出最节省的设计方案：即高与上下底的 直径之比为何值时所需费用最少。解 得●费用函数且满足◆ 不等式的证明利用函数的单调性(单调性的判别法)微分中值定理● .即（*）式成立。利用函数的单调性来证明不等式的问题，关键在于通过要证明的不等式构造相应的辅助函数证明不等式●o◆ 确定方程实根的个数零点定理(根的存在性定理)利用函数的单调性