概率统计教学的资料第2章随机变量及其分布.ppt

随机变量的定义 设随机试验E的样本空间为 若对于每 一个样本点 变量X 都有确定实数值与之对应, 则X是定义在 上的实值函数, 即 我们称 这样的变量X为随机变量. 定义: 随机变量的分类 (1) 离散随机变量:取值只有有限个或可列无穷多个; 连续随机变量: 取值是在某个实数区间 (2) 非离散随机变量 2. 离散随机变量的概率分布 或记为 (1)定义 则称 p(xi) (i=1,2,…) 为 X 的概率分布或概率函数. 其所有可能取值为 且 定义: 设X为离散随机变量, 注：当X取得有限个可能值时， (2)性质 显然，概率分布p(xi) 有下面的性质: 表示有限项的和; 当X取得可列无穷多个可能值时, 表示收敛级数和. 超几何分布 定义.设随机变量X的概率分布为 随机变量X服从超几何分布, 其中n, M, N是分布的参数. 其中n, M, N 都是正整数， 且n ≤N, M≤N; 则称 记作X～H (n, M, N), 一批产品共N件, 其中M件次品, N-M件正品, 实例：产品检验模型 随机抽取n件样品(0≤n≤M) 按不放回抽样方式, (设随机变量X表示取出的次品数k ) 此X的概率分布称为超几何分布H(n, M, N). 求取出的n样品中恰有k件次品A的概率？ 设随机变量X只可能取0,1两个值 , 二项分布 且概率分布 为 1.(0–1)分布 则称X服从(0 - 1)分布或两点分布. (0 - 1)分布的概率分布也可写成 X 0 1 pk 1-p p 定义. 设随机变量X的概率分布为 其中n,p为分布的参数. 2.二项分布 B (n, p) 其中n为正整数， 则称随机变量X服从二项分布， 记作X～B (n, p), 注： 20 当n=1时，X~B(1, p)，即为(0-1)分布. 实例： 在n重伯努利概型中 则X服从二项分布B (n, p) . 例如 设X表示事件A恰好出现的次数， X=k的概率为 随机抽取n件样品(0≤n≤M). 设一批产品共N件，其中有M件次品， 按放回抽样方式, 设随机变量X表示取出的次品数(X=0,1,2,…,n), 则 故X~B (n, M/N). 是分布的参数. 泊松分布 定义. 设随机变量X的概率分布为 则称随机变量X服从泊松分布， 记作 参数 泊松分布的应用 例如： 3) 汽车站台一天的侯客人数； 5) 某公路段上在单位时间内发生交通事故的次数; 2)某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数； 1) 某服务设施在一定时间内到达的人数； 4)某医院在一天内的急诊病人数; 有着广泛的应用. …… 泊松分布在公共事业、生物、医学及工业等领域 概率函数近似等于二项分布B(n,p)的概率函数, 当N充分大时， 超几何分布H (n, M, N)的 二项分布与超几何分布的关系 定理: 即 若X~H (n, M, N)， 则当N→∞时，有 注： 当n充分大, p很小 (p0.1), 二项分布B( n, p)的概率函数近似等于泊松分布 的概率函数: 泊松分布与二项分布的关系 泊松定理： 若当n→∞时， 则有 注： 即np比较适中时， 随机变量X的分布函数 定义：设X为一随机变量， 的概率P(X≤x)称为随机变量X的分布函数, F(x)=P (X≤x). 则事件“X ≤x” 记作 注： 分布函数F (x)的性质 (1) F(x)是非减函数, 即若x1 x2, 则 (3)离散随机变量X，F (x)是右连续函数, 连续随机变量X，F(x)在(-∞,+ ∞)处处连续. 即 事件“X≤x”当x→-∞时是不可能事件; 事件“X≤x”当x→+∞时是必然事件. 定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I 函数f (x)称为连续随机变量 连续随机变量和概率密度 且存在非负函数f (x)， 使得对于任意 有 (有界或无界), 区间 则称X为连续随机变量; X的概率密度函数(probability density function), 概率密度. 简称 1.连续随机变量X任取确定值x0的概率等于0,即 2. 若X是连续随机变量， 则对任意x1, x2(x1x2)有 注: 3. P(A)=0 P(A)=1 20 规范性 概率密度的性质 10 非负性 O 设X是连续随机变量, f(x)为X的概率密度，则 连续X的密度函数与分布函数的关系 设连续X的概率密度f (x)，则其分布函数为 且在f (x)的连续点x处， 定义：设随机变量X的概率密度为 则称X在区间[a,b]上服从均匀分布, 其中a, b是分布的参数. 均匀分布 记作 (1) 均匀分布的定义 注：均匀分布的等可能特征 其等可能性的意义是： X落在区间[a