2020年春九年级数学下册第29章直线与圆的位置关系29.3切线的性质和判定教案新版冀教版.docVIP

PAGE 29.3 切线的性质和判定 1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明(重点)； 2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明(重点，难点)； 3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题． 一、情境导入 约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？ 二、合作探究 探究点一：切线的性质 【类型一】 切线的性质的运用 如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，⊙O与边AB相切于点D，与线段AO相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC的度数为(　　) A．20° B．35° C．55° D．70° 解析：连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°.∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.故选A. 方法总结：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．解题时要注意运用切线的性质，注意掌握辅助线的作法，灵活运用数形结合思想． 【类型二】 利用切线的性质进行证明和计算 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝eq \r(,3)，求⊙O的半径． (1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO； (2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝eq \r(,3)，∴AO＝1，即⊙O的半径为1. 方法总结：运用切线进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化已知条件，构造出等量关系求解． 【类型三】 探究圆的切线的条件 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是eq \o(BC,\s\up8(︵))上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D. (1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由； (2)当DP为⊙O的切线时，求线段BP的长． 解析：(1)当点P是eq \o(BC,\s\up8(︵))的中点时，得eq \o(PBA,\s\up8(︵))＝eq \o(PCA,\s\up8(︵))，得出PA是⊙O的直径，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出AB的长，在Rt△ABP中再次利用勾股定理即可求出BP的长． 解：(1)当点P是eq \o(BC,\s\up8(︵))的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：∵AB＝AC，∴eq \o(AB,\s\up8(︵))＝eq \o(AC,\s\up8(︵))，又∵eq \o(PB,\s\up8(︵))＝eq \o(PC,\s\up8(︵))，∴eq \o(PBA,\s\up8(︵))＝eq \o(PCA,\s\up8(︵))，∴PA是⊙O的直径．∵eq \o(PB,\s\up8(︵))＝eq \o(PC,\s\up8(︵))，∴∠1＝∠2，又∵AB＝AC，∴PA⊥BC.又∵DP∥BC，∴DP⊥PA，∴DP是⊙O的切线． (2)连接OB，设PA交BC于点E.由垂径定理，得BE＝eq \f(1,2)BC＝6.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝eq \r(AB2－BE2)＝8.设⊙O的半径为r，则OE＝8－r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得r2＝62＋(8－r)2，解得r＝eq \f(25,4).在Rt△ABP中，AP＝2r＝eq \f(25,2)，AB＝10，∴BP＝eq \r(,（\f(25,2)）2－102)＝eq \f(15,2). 方法总结：判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手，结合垂径定理与勾股定理，合理转化已知条件，得出结论． 探究点二：切线的判定 【类型一】 判定圆的切线 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线． 证明：连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线． 方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【类型二】 切线的性质与判定的综合应用 如图，AB是⊙