《高等数学》1.2极限的概念.ppt

例如, 函数的极限 两种情况分别讨论! 单侧极限 * 左极限 使得 时, 函数的极限 时, 或 或 右极限 使得 或 或 * 注 且 性质常用于判断分段函数当x趋近于 函数的极限 分段点 时的极限. * 试证函数 证 左、右极限不相等, 故 例 函数的极限 * 例 设 试确定b,c的值,使得 存在, 并求其极限值. 函数的极限 * 自变量绝对值无限增大时的函数极限 设对充分大的x, 函数 处处有定义. 如果随着x的无限增大, 相应的函数 就 无限接近某一常数 A. 由此可引入函数在 无穷远处的极限概念. 以下分别用记号 表示 无限增大的过程. x 趋向于负无穷 x 趋向于无穷 函数的极限 x趋向于正无穷 * 用数学语言刻划 表示 表示 无限增大. 1. 定义 定义1 记作 或 无限接近、 函数的极限 * 2. 另两种情形 函数的极限 * 解 显然有 可见 和 虽然都存在, 但它们不相等. 故 不存在. 例 讨论极限 是否存在? 函数的极限 * 如果在x的某种趋向下, 并不无限接近 一个常数, 则称: 在x的该种趋向下 例 当|x|无限增大时, 都不无限接近一个常数, 因此 都不存在. 函数的极限 不存在. * 函数的极限 图形 完全落在: * 例 证 要使 成立. 只要 有 解不等式 函数的极限 * 例 验证下列基本极限 函数的极限 * 试证 证 注意 有 为了使 只要使 有 的图形的 水平渐近线(horizontal asymptote). 函数的极限 结论 则直线 * 函数极限与数列极限相比,有类似的性质, 定理1(极限的唯一性) 有极限, 若在自变量的某种变化 趋势下, 则极限值必唯一. 定理2(局部有界性) f(x)有极限, 则f(x)在 上有界; f(x)有 极限, 函数的极限 且证明方法也类似. 四、函数极限的性质 * 定理3(局部保号性) 推论1 则必存在 的某去心邻域,在该邻域内恒有 推论2 则必存在 的某去心邻域,在该邻域内恒有 函数的极限 * 推论3 若存在 的某去心邻域,在该邻域内恒有 且 存在, 则 推论4 函数的极限 * 数列极限的概念 函数极限的概念 收敛数列的性质 极限的原始思想 第二节 极限的概念 第一章 函数与极限 函数极限的性质 小结 思考题 * 一、极限的原始思想 极限概念是从常量到变量, 从有限到无限, 即从初等数学过渡到高等数学的关键. 极限的思想源远流长. 庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》 “一尺之棰,日取其半,万世不竭”. 意思是: 一尺长的棍子, 第一天取其一半, 第二 天取其剩下的一半, 以后每天都取其剩下的一 半, 这样永远也取不完. 数列的极限 中写道: * 刘徽(三世纪)的“割圆术”中说: 意思是: 设给定半径为1尺的圆, 从圆内接正6边 形开始, 每次把边数加倍, 屡次用勾股定理. 求出 正12边形、 ……等等正多边形的边长, 正24边形. 边数越多, 圆内接正多边形越与圆接近, 最后与 圆周重合, 则正多边形周长与圆周长就没有误 差了. 数列的极限 “割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣.” * 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 数列的极限 * 简记为 数列的极限 二、数列极限的概念 对应函数值的排列 称为数列, 定义1 当n依次取1,2,3,…等一切正整数时, 通项(general term), 或者一般项. * 1、数列的概念 如 数列的极限 * 可看作一动点在数轴上依次取 数列的(两种)几何表示法: 数列可看作自变量为正整数 n的函数: (1)数列对应着数轴上一个点列. 数列的极限 * (2) 在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴, 注 不可将这串点连成曲线. o n xn · · · · 1 2 3 4 则数列的几何意义是 数列的极限 平面上一串分离的点. * 数列是一种特殊的函数,也有有界性和单调性 定义2 则称数列 为有界数列,否则为无界数列. 如, 有界 无界 数列的极限 * 定义3 则称数列 为单调增数列. 如 ↗ 则称数列 为单调减数列. 如 数列的极限 * 注意: 1. 凡是讲数列,都有无穷多项. 2. 数列是一种特殊的函数. 3. 数列与数集是不同的(数集中元素互不相同). 数列的极限 * 2、数列极限的概念 1. 引例 求由抛物线 所围成的图形面积. (1) 分割:n等分,得到n个小区间: