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~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 -1 近世代数知识点 第一章 基本概念 1.1 集合 ? A 的全体子集所组成的集合称为 A 的幂集，记作 2 A . 1.2 映射 证明映射： 单射：元不同，像不同；或者 像相同，元相同。 ? 满射：像集合中每个元素都有原像。 Remark： 映射满足结合律！ 1.3 卡氏积与代数运算 {（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般 A*B 不等于 B*A. 集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。 1.4 等价关系与集合的分类 ★ 等价关系：1 自反性：?a∈A,a a; 对称性：?a,b∈R, a b=b a∈R; 传递性：?a,b,c∈R,a b,b c =a c∈R. Remark：对称+传递≠自反 ★ 一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系 ★ 不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。 第二章 群 2.1 半群 1. 半群=代数运算+结合律，记作（S, ° ） Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算， 观察运算后的结果是否还在定义的集合中。 ii.若半群中的元素可交换，即 a ° b=b ° a,则称为交换半群。 2. 单位元 i. 半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能 都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。 3. 逆元 单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。 在有单位元的半群中，规定 a =e. 在有单位元 e 的半群中，存在 b,使得 ab=ba=e,则 a 为可逆元。 逆元具有唯一性，记作 a 且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。 ∈2nh k ∈ 2 n h k 0 1 2 m-1 iii. 若一个元素 a 既有左逆元 a1，又有右逆元 a2，则 a1=a2,且为 a 的逆 元。 4. 子半群 i. 设 S 是半群，?≠T ? S,若 T 对 S 的运算做成半群，则 T 为 S 的一个 子半群 ii. T 是 S 的子半群??a,b ∈ T,有 ab ∈ 2.2 群 T 1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元 Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或 Abel 群. ii. 加群=代数运算为加法+交换群 iii.单位根群 Um={ ?? ∈ ?? |?? m =1},数域 P 上全体 n 阶可逆（满秩）矩 阵集合 GL(n,P),数域 P 上全体 n 阶的行列式为 1 的矩阵集合 SL(n,p). 2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元 =代数运算+结合律+单位元+逆元 =代数运算+结合律+?a,b 3. 群的性质 ∈ G,ax=b,ya=b 有解 群满足左右消去律 设 G 是群，则?a,b G,ax=b,ya=b 在 G 中有唯一解 iii. e 是 G 单位元? e =e iv.若 G 是有限半群，满足左右消去律，则 G 是一个群 4. 群的阶 群 G 的阶，即群 G 中的元素个数，用 |??|表示。若为无限群，则|??|=∞。 Remark：i.克莱因四元群是一个 Abel 群 ii.四阶群只有克莱因四元群和模 4 的剩余类群 2.3 元素的阶 定义：设 G 是一个群，a ∈ G,使得 am=e 成立的最小正整数 m 称为元素 a 的阶，记作|a|=m;若 m 不存在，则|??| = ∞ 阶的性质 ①G 是一个群，a ∈ G, | a | =m, a =e?m|n; a =a ?m|? ? ??; e=a ,a ,a ,……a 两两不同； ∈ | |rZ,a∈ | s||??| ∈ | | r Z, a ∈ | s| |??| = ∞ n h k -2 -1 0 1 2 ∈ | | ∞ r 0 1 2 m-1 -2 -1 0 1 2 r r 2 p-1 iv. ★?r Z, a = ?? (??,??) Remark: i. ?r ∈ | r|  =m ?  (m,r)=1; ii.若 m=st,s,t N,则 a =t. ② ，  a =e?n=0; a =a ?? = ??; ……a ,a ,a ,a ,a ……两两不等 ?r Z\{0}, a = . Remark: 若|a|∞, |b|∞, 则|ab|∞？……（ ×  ）  定理：有限群中的元素的阶均有限。 Remark：定理的逆不成立，即群中所有的元素的阶都有限，但群不一定是 有限群，例如 n 次单位根群。单位根群是一个无限交换群。 3. ★★循环群 定义：设 G 是群，若在 G 中存在一个元素 a，使得 G 中的任意元素都