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DEF D E F 重视应用三角形中位线解题 姓名 一.利用现有中点，构造平行四边形 例 1.（2007 年株洲）如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，M、N、P、Q 分别是 AD、BC、BD、AC 的中点；求证：MN 与 PQ 互相垂直平分. 二.利用现有中点，构造全等三角形 例 2.（2007 年辽宁）如图， 已知等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB，AC，BC 的 中点，M 为直线 BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时， △DMN 也随 之整体移动） ． 如图①，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F 是否在 直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； 如图②，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是 否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由； 若点 M 在点 C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由． A A  A D  E  D  E  ·  · N B M F  C B  M  ·  C B  · F  C N 图①  图②  图③ （1）判断：EN 与 MF 相等 （或 EN=MF），点 F 在直线 NE 上， （2）成立． 证明： 法一：连结 DE，DF． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC=BC． 又∵D，E，F 是三边的中点， ∴DE，DF，EF 为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°． 又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°， ∴∠MDF=∠NDE． 在△DMF 和△DNE 中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE， ∴△DMF≌△DNE． ∴MF=NE． 　  A  A D E N  D E N B  M  F  C  B  M  F  C 法二： 延长 EN，则 EN 过点 F． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC=BC． 又∵D，E，F 是三边的中点， ∴EF=DF=BF． ∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°， ∴∠BDM=∠FDN． 又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60° ∴△DBM≌△DFN． ∴BM=FN． ∵BF=EF， ∴MF=EN． 法三： 连结 DF，NF． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AC=BC=AC． 又∵D，E，F 是三边的中点， ∴DF 为三角形的中位线，∴DF= 1 1 AC= AB=DB． 2 2 又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°， ∴∠BDM=∠FDN． 在△DBM 和△DFN 中，DF=DB， DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN． ∴∠B=∠DFN=60° 又∵△DEF 是△ABC 各边中点所构成的三角形， ∴∠DFE=60°． ∴可得点 N 在 EF 上， ∴MF=EN． （3）画出图形（连出线段 NE）， MF 与 EN 相等的结论仍然成立（或 MF=NE 成立）． N A D  E B F C  M 三.选择新中点，构造全等三角形 例 3.（2007 年广州）已知 eq \o\ac(△,Rt)eq \o\ac(△, )ABC 中， AB ?AC ，在 Rt△ ADE 中， AD ?DE ，连结 EC ，取 EC 中点 M ，连结 DM 和 BM ． （1）若点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合，如图①，求证： BM ?DM 且 BM ? DM ； （2）如图①中的△ ADE 绕点 A 逆时针转小于 45°的角，如图②，那么（1）中的结论 是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明． B  E  B E M  D  M A  D  C  A  C