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第七章 伪投影与多圆锥投影 学习指导 学习目标与要求 1.掌握伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的投影表象 2.了解伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的一般公式 3.掌握伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的特点 4.掌握多圆锥投影的几何构成及一般公式 5.掌握几种多圆锥投影的应用及变形特点 学习重点 1.掌握伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的投影表象 2.掌握伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的特点 3.了解掌握伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的应用 4.掌握几种多圆锥投影的应用及变形特点 学习难点 1.伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影的投影的特点 2.多圆锥投影的几何构成 一 伪投影的共同特点 1 纬线投影与原投影一致 2 经线投影均将过去的直经线改为对称于中央直经线的曲线 3 均无等角性质的投影 二 伪圆锥投影 伪圆锥投影的定义是:纬线投影为一组同心圆圆弧,经线为对称于中央直经线的曲线。由此可见,纬线的投影仅是纬度φ的函数,而经线的投影则是纬度φ和经度λ的函数。 由此可写出伪圆锥投影的一般公式: 式中q为圆心纵坐标,因为纬线为同心圆,所以q在一个投影中是常数。 伪圆锥投影的变形公式,注意到q为常数,因此q′=0,可得: 在伪圆锥投影中,除中央经线外,其余经线均为曲线。如若经线成为交于纬线共同圆心的直线束,则就成为圆锥投影。另一方面,若纬线半径无穷大,则纬线变成一组平行直线,这时所得到的是伪圆柱投影。可见,不论圆锥投影或伪圆柱投影都可说是伪圆锥投影的特例。 按变形性质来分析伪圆锥投影,因为伪圆锥投影的经纬线不正交,故不可能有等角投影,而只能有等面积和任意投影。在伪圆锥投影的实际应用中,最常见的是彭纳等面积伪圆锥投影。下面我们仅介绍这种投影。 纬线长度保持不变的等面积伪圆锥投影——彭纳投影(Bonne Projection) 1)中央经线投影为直线,并保持长度无变形,即m0=1 2)纬线投影为同心圆 圆弧且保持长度无变形, 即n=1 3)中央经线与所有纬线 正交,而中间纬线 (切纬线)则与所有 经线正交 4)面积比P=1 彭纳投影是保持纬线长度不变的等面积伪圆锥投影,即n=1,P=1。有 积分后得 此处C为积分常数,如以中央经线作为0°起算,则λ=0时δ=0,故 以n=1代入之得 积分后得 ρ=C—s 式中C为积分常数,s为赤道到纬线φ的经线弧长。 变形公式如下: 为了决定常数C,令指定的某一纬线φ0上没有变形,即与所有经线正交,即ε=0,则有 即 ρ0=N0ctgφ0 由此得 C=N0ctgφ0+s0 通常取投影区域中部纬度作为φ0,其上n0=1并ε=0。 因为彭纳投影的中央经线λ0及指定的纬线φ0上没有变形,所以它的等变形线在中心点λ0、φ0附近是“双曲线”。彭纳投影的经纬线网如图所示。图中另一组曲线是角度等变形线,对称于中央经线。 三 伪圆柱投影 伪圆柱投影中纬线投影为平行直线,经线投影为对称于中央直经线的曲线。伪圆柱投影可视为伪圆锥投影的特例,当后者的纬圈半径为无穷大时,即成为伪圆柱投影。根据经纬线形状可知,伪圆柱投影中不可能有等角投影,而只能有等面积和任意投影。 在伪圆柱投影,纬线的投影仅为纬度φ的函数,而经线的投影是经、纬度的函数。故可写出。 x=f1(φ) y=f2(φ,λ) 本投影中通常以中央经线为x轴,赤道为y轴。 变形公式为: 等面积伪圆柱投影的一般公式 伪圆柱投影中以等面积投影较多,为此我们先推导出等面积伪圆柱投影的一般公式,以便于探求具体的投影公式。 在等面积条件下P=1,故有: 移项积分后 式中C为积分常数,因中央经线为直线,λ由中央经线起算,当λ=0时,y=0,故C=0,则 几种等面积伪圆柱投影1)正弦曲线等面积伪圆柱投影——桑逊投影(Sanson-Flamsteed Projection) 本投影纬线投影后为间隔相等且互相平行的直线,中央经线为垂直于各纬线的直线,其他经线投影后为正弦曲线,并对称于中央经线。 该投影有以下特性: n=1, P=1,m0=1, 纬线投影为间隔相等的平行直线 经线投影为对称于中央直经线的正弦曲线 适合沿中央经线和赤道延伸的区域的地图投影,高纬度地区变形大
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