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第三讲 不等式及线性规划
高考考点
考点解读
不等式的性
质及解法
1.利用不等式的性质判定命题的真假及一元二次不等式的解法
2.通过含参数不等式恒成立求参数范围
基本不等式的应用
1.考查利用基本不等式求最值问题
2.常与集合、函数等知识交汇命题
线性规划问题
1.给出约束条件求最值,求区域面积
2.已知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面:
(1)掌握不等关系与不等式解法、基本不等式的应用.
(2)熟练掌握求解线性规划问题的方法,给出线性不等式组可以熟练找出其对应的可行域.
(3)关注目标函数的几何意义和参数问题,掌握求目标函数最值的方法.
预测2020年命题热点为:
(1)不等式的性质、不等关系及不等式解法;利用基本不等式求函数最值.
(2)求目标函数的最大值或最小值及求解含有参数的线性规划问题.
Zeq \o(\s\up7(知识整合),\s\do5(hi shi zheng he ))
1.不等式的四个性质
注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求,如
(1)ab,c0?acbc,ab,c0?acbc.
(2)ab0,cd0?acbd.
(3)ab0?anbn(n∈N,n≥1).
(4)ab0?eq \r(n,a)eq \r(n,b)(n∈N,n≥2).
2.四类不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2+bx+c0(a≠0),再求相应一元
二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.
(2)简单分式不等式的解法
eq \f(f?x?,g?x?)0(0)?f(x)g(x)0(0).
eq \f(f?x?,g?x?)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
(3)简单指数不等式的解法
当a1时,af(x)ag(x)?f(x)g(x);
当0a1时,af(x)ag(x)?f(x)g(x).
(4)简单对数不等式的解法
当a1时,logaf(x)logag(x)?f(x)g(x)0;
当0a1时,logaf(x)logag(x)?g(x)f(x)0.
3.基本不等式
(1)基本不等式的常用变形
①a+b≥2eq \r(ab)(a0,b0),当且仅当a=b时,等号成立.
②a2+b2≥2ab,ab≤(eq \f(a+b,2))2(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
③eq \f(b,a)+eq \f(a,b)≥2(a,b同号且均不为零),当且仅当a=b时,等号成立.
④a+eq \f(1,a)≥2(a0),当且仅当a=1时,等号成立;a+eq \f(1,a)≤-2(a0),当且仅当a=-1时,等号成立.
⑤a0,b0,则eq \r(\f(a2+b2,2))≥eq \f(a+b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2,\f(1,a)+\f(1,b)),当且仅当a=b时取等号.
(2)利用基本不等式求最值
已知a,b∈R,则①若a+b=S(S为定值),则ab≤(eq \f(a+b,2))2=eq \f(S2,4),当且仅当a=b时,ab取得最大值eq \f(S2,4).
②若ab=T(T为定值,且T0),则a+b≥2eq \r(ab)=2eq \r(T),当且仅当a=b时,a+b取得最小值2eq \r(T).
4.求目标函数的最优解问题
(1)“斜率型”目标函数z=eq \f(y-b,x-a)(a,b为常数),最优解为点(a,b)与可行域上点的连线的斜率取最值时的可行解.
(2)“两点间距离型”目标函数z=eq \r(?x-a?2+?y-b?2)(a,b为常数),最优解为点(a,b)与可行域上点之间的距离取最值时的可行解.
5.线性规划中的参数问题的注意点
(1)当最值已知时,目标函数中的参数往往与直线斜率有关,解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.
(2)当目标函数与最值都已知,且约束条件中含有参数时,因为平面区域是变动的,所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口,先确定最优解,然后变动参数范围,使得这样的最优解在该区域内即可.
6.重要性质及结论
(1)ax2+bx+c0(a≠0)恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a0,,Δ0.))
(2)ax2+bx+c0(a≠0)恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a0,,Δ0.))
Yeq \o(\s\up7(易错警示),\s\do5(i cuo jing shi))
1.忽略条件
应用基本不等式求最值时,要注意“一正、二
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