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* * * 第三章 几种常见的 概率分布律 一、离散型概率分布律 二项分布 泊松分布 本 章 内 容 二、连续型概率分布律 正态分布 三、中心极限定理 第一节 二项分布（binomial distribution） 一、应用二项分布概率函数的条件 随机试验的每次试验有两种不同的结果，它们互不相容，各自出现的概率恒定；独立地将此随机试验重复n次，在n次试验中，一种结果出现y次的概率可以通过二项分布概率函数计算出来。 其特点如下： (1)每次试验结果，只能是两个互斥的结果之一(A或非A)。 (2)每次试验的条件不变。即每次试验中，结果A发生的概率不变，均为φ。 (3)各次试验独立。即一次试验出现什么样的结果与前面已出现的结果无关。 二、二项分布概率函数表达式： n=试验次数（或样本含量） y=在n次试验中事件A出现的次数 φ=事件A发生的概率（每次试验都是恒定的） 1-φ=事件A的对立事件发生的概率 p(y)=Y的概率函数=P(Y=y) 例：3.1 从雌雄各半的100只动物中做一抽样试验。第一次从这100只动物中随机抽取一只，记下性别后放回，再做第二次抽取。共做了10次抽样，计算抽中3只和3只以下雄性动物的概率。 n=10 y=3，2，1，0 φ=1/2 解： 三、服从二项分布的随机变量的特征数 随着样本含量的增加，偏斜度和峭度趋向于0，二项分布逐渐接近于正态分布。 平均数： μ=nφ 方差： σ2=nφ(1-φ) 四、二项分布应用实例 例：3.2 例：3.3 例：3.4 【例3.4】 用棕色正常毛(bbRR)的家兔和黑色短毛(BBrr)兔杂交，杂种F1为黑色正常毛长的家兔，F1雌、雄兔近亲交配，问最少需要多少只F2代的家兔，才能以99%的概率至少得到一只棕色短毛兔？ 解： 由题目知，在F2代家兔中棕色短毛兔出现的概率为1/16，非棕色短毛兔出现的概率为15/16。 假设最少需要n只F2代家兔，才能以99%的概率至少得到一个棕色短毛兔。 结论： 最少需要72只F2代家兔才能以99%的概率至少得到一只棕色短毛兔。 则在n只F2代家兔中至少出现一只棕色短毛兔的概率为0.99，那么在n只F2代家兔中出现0只棕色短毛兔的概率为0.01。 n y=0 φ=1/16 第二节 泊松分布(Poisson distribution) 一、符合泊松分布的条件 在二项分布中，当某事件出现的概率特别小（φ→0），而样本含量又很大（n→∞）且nφ=μ时，二项分布就变成泊松分布。泊松分布实际上是二项分布的极限分布。 二、泊松分布的概率函数 三、服从泊松分布的随机变量的特征数 平均数： μ=nφ 方差： σ2=μ 四、泊松分布的应用 Poisson分布是描述在一定空间（长度、面积和体积）或一定时间间隔内点子散布状况的理想化模型（主要用于描述在单位时间或空间中稀有事件的发生数）。 例如： 1. 放射性物质在单位时间内的放射次数； 2. 在单位容积充分摇匀的水中的细菌数； 3. 野外单位空间中的某种昆虫数等。 麦田内平均每10m2有1株杂草，现在要问每100m2麦田中，有0株杂草，1株杂草，2株杂草，…的概率是多少？ 【例3.5】 解： 每100m2麦田中，平均杂草数为： 每100m2麦田中，有y株杂草的概率为： 杂草数（y） 概率[ p(y) ] 第三节 另外几种离散型概率分布 超几何分布 负二项分布 第四节 正态分布 normal distribution 随机变量数据大部分集中在平均数附近，在平均数两侧呈对称分布，即两头少，中间多，两侧对称，数据的这种分布规律称为正态分布。 正态分布密度函数的图 像，称为正态曲线。 一、正态分布的密度函数和分布函数 正态分布的密度函数 μ：总体平均数 σ：总体标准差 以N(μ, σ2)表示平均数为μ，标准差为σ的正态分布。 正态分布由参数μ和σ确定。μ是位置参数，当σ不变时，μ越大，则曲线沿横轴越向右移动；反之，μ越小，曲线沿横轴越向左移动。σ是变异度参数，当μ不变时，σ越大，表示数据越分散，曲线越平坦；σ越小，表示数据越集中，曲线越陡峭